Calcule o volume da superficie gerada pela rotaçăo da curva y = x sen(x^2), entre 0 e raiz(pi), em tomo do eixo x.

Passo 1

Vamos calcular o volume da superfície gerada pela rotação da curva entre 0 e em torno do eixo . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente do método dos discos para encontrar volumes de rotação. Para resolver, precisamos usar a fórmula do volume por integração.

Passo 2

A fórmula para o volume gerado pela rotação de uma curva em torno do eixo entre os limites e é:
No nosso caso, , e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Para simplificar a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com :
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Integrando :
Avalendo de 0 a :

Passo 5

Segunda Integral:
Fazemos uma substituição para resolver essa integral. Seja , então ou . Observando que:
Substituindo na integral:
Para resolver , usamos integração por partes:
Avaliado de 0 a :
Portanto, a segunda integral resulta em zero.

Passo 6

Voltando à expressão original do volume:

Resposta

O volume da superfície gerada é , que aproximadamente vale 2,916 unidades cúbicas.

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