Calcule o volume da superficie gerada pela rotaçăo da curva
, entre 0 e
, em tomo do eixo
.
Passo 1
Vamos calcular o volume da superfície gerada pela rotação da curva entre 0 e
em torno do eixo
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente do método dos discos para encontrar volumes de rotação. Para resolver, precisamos usar a fórmula do volume por integração.
Passo 2
A fórmula para o volume
gerado pela rotação de uma curva
em torno do eixo
entre os limites
e
é:
No nosso caso, ,
e
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Para simplificar a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com
:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral:
Integrando
:
Avalendo de 0 a
:
Passo 5
Segunda Integral:
Fazemos uma substituição para resolver essa integral. Seja
, então
ou
. Observando que:
Substituindo na integral:
Para resolver
, usamos integração por partes:
Avaliado de 0 a
:
Portanto, a segunda integral resulta em zero.
Passo 6
Voltando à expressão original do volume:
Resposta
O volume da superfície gerada é
, que aproximadamente vale 2,916 unidades cúbicas.