Um canal de concreto ( n=0,013 ) mede 4 m de largura e foi projetado para funcionar com uma profundidade útil de 2 m . A declividade é de 0.0005 m / m. Determine:
a) a vazão de escoamento;
b) Velocidade critica;
c) Profundidade critica;
d) Declividade critica;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um canal de concreto com as seguintes características:
  • Coeficiente de rugosidade de Manning ( n) = 0,013
  • Largura do canal ( b) = 4 metros
  • Profundidade útil de projeto ( y) = 2 metros
  • Declividade do canal ( S) = 0,0005 m/m
A questão pede para determinarmos quatro coisas:
a) A vazão de escoamento;
b) A velocidade crítica;
c) A profundidade crítica;
d) A declividade crítica.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais, principalmente a equação de Manning para vazão e os conceitos de profundidade e velocidade crítica relacionados ao número de Froude.

Passo 2

Vamos começar com a vazão de escoamento usando a Equação de Manning. Essa equação relaciona a vazão ( Q) com a área da seção transversal ( A), o raio hidráulico ( R), a declividade ( S) e o coeficiente de rugosidade ( n).
A fórmula da Equação de Manning é:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2
Onde:
  • Q é a vazão (m³/s)
  • n é o coeficiente de Manning
  • A é a área da seção transversal do fluxo (m²)
  • R é o raio hidráulico (m)
  • S é a declividade do canal
Para um canal retangular, a área A é dada por:
A = b times y
E o perímetro molhado P é:
P = b + 2y
O raio hidráulico R é então:
R = AP = b times yb + 2y
Vamos calcular cada componente passo a passo.

Passo 3

Primeiro, calculamos a área da seção transversal ( A):
A = b times y = 4 , m times 2 , m = 8 , m² ²
Em seguida, calculamos o perímetro molhado ( P):
P = b + 2y = 4 , m + 2 times 2 , m = 8 , m
Agora, o raio hidráulico ( R):
R = AP = 8 , m²8 , m = 1 , m ²

Passo 4

Com todos os valores calculados, vamos aplicar na Equação de Manning para encontrar a vazão ( Q):
Q = 1n A R^2/3 S^1/2
Substituindo os valores:
Q = 10,013 times 8 , m² times (1 , m)^2/3 times (0,0005)^1/2 ²
Vamos calcular cada parte:
  • 1/n = 1/0,013 approx 76,923
  • R^2/3 = 1^2/3 = 1
  • S^1/2 = raiz0,0005 approx 0,02236
Multiplicando tudo:
Q approx 76,923 times 8 times 1 times 0,02236 approx 13,76 , m³/s ³

Passo 5

Agora, vamos para a velocidade crítica. A velocidade crítica ( Vc) é a velocidade na qual o fluxo está na condição crítica, ou seja, onde a energia do fluxo é mínima e o número de Froude ( Fr) é igual a 1.
A fórmula para a velocidade crítica é:
Vc = raizg times yc
Onde:
  • g é a aceleração devido à gravidade ( 9,81 , m/s²²)
  • yc é a profundidade crítica
Mas primeiro, precisamos encontrar a profundidade crítica ( yc) para calcular Vc.

Passo 6

Para encontrar a profundidade crítica ( yc) em um canal retangular, usamos a seguinte fórmula derivada do número de Froude igual a 1:
yc = ( q^2g times b^2 )^1/3
Onde:
  • q é a vazão por unidade de largura ( Q/b)
Vamos calcular q:
q = Qb = 13,76 , m³/s4 , m = 3,44 , m²/s ³²
Agora, substituindo na fórmula de yc:
yc = ( (3,44)^29,81 times (4)^2 )^1/3 = ( 11,83156,96 )^1/3 approx ( 0,0755 )^1/3 approx 0,42 , m

Passo 7

Com a profundidade crítica ( yc) encontrada, podemos calcular a velocidade crítica ( Vc):
Vc = raizg times yc = raiz9,81 times 0,42 approx raiz4,12 approx 2,03 , m/s

Passo 8

Para determinar a declividade crítica ( Sc), usamos a Equação de Manning adaptada para condições críticas. A declividade crítica é a declividade na qual o fluxo é crítico.
A fórmula é:
Sc = n^2 times Rc^4/3Ac^2
Onde:
  • Rc é o raio hidráulico em condição crítica
  • Ac é a área da seção transversal em condição crítica
Para um canal retangular em condição crítica:
Ac = b times yc = 4 , m times 0,42 , m approx 1,68 , m² ²
E o perímetro molhado crítico ( Pc):
Pc = b + 2yc = 4 , m + 2 times 0,42 , m = 4,84 , m
Então, o raio hidráulico crítico ( Rc):
Rc = AcPc = 1,68 , m²4,84 , m approx 0,347 , m ²
Agora, substituindo na fórmula de Sc:
Sc = (0,013)^2 times (0,347)^4/3(1,68)^2 approx 0,000169 times 0,4352,822 approx 0,0000732,822 approx 0,000026 , m/m

Resposta

a) A vazão de escoamento é aproximadamente 13,76 m³/s.
b) A velocidade crítica é aproximadamente 2,03 m/s.
c) A profundidade crítica é aproximadamente 0,42 metros.
d) A declividade crítica é aproximadamente 0,000026 m/m.

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