Uma certa plataforma giratória com diâmetro D0 possui um momento angular L0. Se você quisesse reprojetá-la de modo a dobrar o momento angular, porém mantendo a mesma massa e a mesma velocidade angular anterior, qual deveria ser o seu diâmetro em termos de D0?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma plataforma giratória com diâmetro D0 e momento angular L0. A questão quer que a gente reprojete essa plataforma para dobrar o momento angular, ou seja, passar de L0 para 2L0, mas mantendo a mesma massa e a mesma velocidade angular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e momento angular da física rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do momento angular ( L):
L = I cdot omega
onde:
  • I é o momento de inércia,
  • omega é a velocidade angular.
Como queremos dobrar o momento angular mantendo a mesma velocidade angular, precisamos dobrar o momento de inércia.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é o momento de inércia ( I). Para uma plataforma circular (como um disco) com massa m e raio r, o momento de inércia é dado por:
I = 12 m r^2
Sabemos que o diâmetro D está relacionado ao raio pela fórmula D = 2r, então podemos reescrever o momento de inércia em termos do diâmetro:
r = D2 I = 12 m (D2)^2 = 18 m D^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula para a plataforma original e para a nova plataforma que queremos projetar:
  • Plataforma original:
I0 = 18 m D0^2
  • Nova plataforma (com momento de inércia dobrado):
If = 2 I0 = 2 (18 m D0^2) = 14 m D0^2

Passo 5

Mas também sabemos que para a nova plataforma:
If = 18 m Df^2
Onde Df é o novo diâmetro que queremos encontrar.

Passo 6

Igualando as duas expressões para If:
18 m Df^2 = 14 m D0^2
Podemos simplificar cancelando o m e multiplicando os dois lados por 8:
Df^2 = 2 D0^2

Passo 7

Agora, para encontrar Df, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Df = D0 cdot raiz2

Resposta

Então, o novo diâmetro da plataforma precisa ser raiz2 vezes o diâmetro original D0. Ou seja:
Df = raiz2 , D0 approx 1,414 , D0

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