Uma certa plataforma giratória com diâmetro
possui um momento angular
. Se você quisesse reprojetá-la de modo a dobrar o momento angular, porém mantendo a mesma massa e a mesma velocidade angular anterior, qual deveria ser o seu diâmetro em termos de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma plataforma giratória com diâmetro
e momento angular
. A questão quer que a gente reprojete essa plataforma para dobrar o momento angular, ou seja, passar de
para
, mas mantendo a mesma massa e a mesma velocidade angular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e momento angular da física rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do momento angular (
):
onde:
-
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Como queremos dobrar o momento angular mantendo a mesma velocidade angular, precisamos dobrar o momento de inércia.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é o momento de inércia (
). Para uma plataforma circular (como um disco) com massa
e raio
, o momento de inércia é dado por:
Sabemos que o diâmetro
está relacionado ao raio pela fórmula
, então podemos reescrever o momento de inércia em termos do diâmetro:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para a plataforma original e para a nova plataforma que queremos projetar:
- Plataforma original:
- Nova plataforma (com momento de inércia dobrado):
Passo 5
Mas também sabemos que para a nova plataforma:
Onde
é o novo diâmetro que queremos encontrar.
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Podemos simplificar cancelando o
e multiplicando os dois lados por
:
Passo 7
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Então, o novo diâmetro da plataforma precisa ser
vezes o diâmetro original
. Ou seja: