Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras DIFERENTES de se fazer a programação dessa semana é:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um clube que vai organizar uma Semana de Cinema com 7 filmes, um para cada dia. Dentre esses, 3 são de ficção científica e precisam ser exibidos em dias seguidos. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras diferentes podemos programar essa semana respeitando essa condição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de arranjos e permutação.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos 3 filmes de ficção científica como um único bloco, já que eles precisam ser exibidos em dias consecutivos. Assim, em vez de termos 7 filmes separados, temos esse bloco especial mais os outros 4 filmes não relacionados à ficção científica. Isso significa que, no total, temos 5 “itens” para organizar: o bloco dos filmes de ficção científica e os 4 filmes restantes.
Passo 3
Agora, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar esses 5 itens. Como a ordem importa (cada ordem representa uma programação diferente), usamos o conceito de permutação. O número de permutações de 5 itens é dado por
(5 fatorial), que significa:
Passo 4
Dentro do bloco dos filmes de ficção científica, também precisamos considerar de quantas maneiras podemos organizar esses 3 filmes entre si. Novamente, a ordem importa, então usamos permutação para esses 3 itens. O número de permutações de 3 itens é
(3 fatorial):
Passo 5
Para encontrar o número total de maneiras diferentes de programar a semana, multiplicamos as permutações dos 5 itens pelo número de permutações dentro do bloco dos filmes de ficção científica:
Resposta
Existem 720 maneiras diferentes de programar a Semana de Cinema respeitando a condição dada.