A coluna ABC tem uma seção transversal uniforme e é contraventada no plano
pelo seu ponto intermediário C. Determine a taxa
para que o fator de segurança seja o mesmo para flambagem nos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma coluna chamada ABC com uma seção transversal uniforme. Ela é contraventada no plano
no ponto intermediário C. Nosso objetivo é encontrar a razão
de forma que o fator de segurança seja o mesmo tanto para flambagem nos planos
quanto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre flambagem de colunas, fatores de segurança e como as dimensões da seção transversal influenciam na estabilidade da coluna. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é flambagem. Flambagem é o fenômeno de instabilidade que ocorre quando uma coluna submetida a uma carga de compressão se deforma lateralmente. O fator de segurança relaciona a carga de flambagem crítica à carga real aplicada, garantindo que a coluna não falhe.
Para calcular o fator de segurança, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o fator de segurança, -
é a carga crítica de flambagem, -
é a carga aplicada.
Passo 3
A carga crítica de flambagem
para uma coluna com apoio simples em ambas as extremidades é dada pela fórmula de Euler:
Onde:
-
é o módulo de elasticidade, -
é o momento de inércia da seção transversal, -
é o fator de comprimento efetivo, -
é o comprimento da coluna.
No nosso caso, a coluna está contraventada no ponto C, o que afeta o valor de
. Vamos considerar que a contraventação no plano
reduz o comprimento efetivo para esse plano, enquanto no plano
a coluna permanece com comprimento total.
Passo 4
Agora, vamos considerar os momentos de inércia nos planos
e
. Supondo uma seção retangular, os momentos de inércia são:
Onde:
-
é a largura, -
é a altura da seção.
Passo 5
Queremos que os fatores de segurança sejam iguais nos dois planos. Portanto, igualamos os fatores de segurança:
Substituindo pela fórmula do fator de segurança:
Como a carga aplicada
é a mesma, podemos igualar as cargas críticas:
Passo 6
Substituindo a fórmula de
:
Os fatores de comprimento efetivo
e
podem ser considerados iguais se a contraventação não altera significativamente o modo de flambagem. Simplificando a equação:
Passo 7
Agora, substituímos os momentos de inércia:
Cancelando termos comuns:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
A razão
deve ser igual a 1 para que o fator de segurança seja o mesmo para flambagem nos planos
e
.