A coluna ABC tem uma seção transversal uniforme e é contraventada no plano x z pelo seu ponto intermediário C. Determine a taxa b / d para que o fator de segurança seja o mesmo para flambagem nos planos x z e y z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma coluna chamada ABC com uma seção transversal uniforme. Ela é contraventada no plano no ponto intermediário C. Nosso objetivo é encontrar a razão de forma que o fator de segurança seja o mesmo tanto para flambagem nos planos quanto .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre flambagem de colunas, fatores de segurança e como as dimensões da seção transversal influenciam na estabilidade da coluna. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é flambagem. Flambagem é o fenômeno de instabilidade que ocorre quando uma coluna submetida a uma carga de compressão se deforma lateralmente. O fator de segurança relaciona a carga de flambagem crítica à carga real aplicada, garantindo que a coluna não falhe.
Para calcular o fator de segurança, usamos a seguinte fórmula:
Fs = PcrP
Onde:
  • é o fator de segurança,
  • é a carga crítica de flambagem,
  • é a carga aplicada.

Passo 3

A carga crítica de flambagem Pcr = pi^2 E I(K L)^2 para uma coluna com apoio simples em ambas as extremidades é dada pela fórmula de Euler:
Onde:
  • é o módulo de elasticidade,
  • é o momento de inércia da seção transversal,
  • é o fator de comprimento efetivo,
  • é o comprimento da coluna.
No nosso caso, a coluna está contraventada no ponto C, o que afeta o valor de . Vamos considerar que a contraventação no plano reduz o comprimento efetivo para esse plano, enquanto no plano a coluna permanece com comprimento total.

Passo 4

Agora, vamos considerar os momentos de inércia nos planos Ixz = b d^312 e Iyz = d b^312 . Supondo uma seção retangular, os momentos de inércia são:
Onde:
  • é a largura,
  • é a altura da seção.

Passo 5

Queremos que os fatores de segurança sejam iguais nos dois planos. Portanto, igualamos os fatores de segurança:
Fs,xz = Fs,yz
Substituindo pela fórmula do fator de segurança:
Pcr,xzP = Pcr,yzP
Como a carga aplicada Pcr,xz = Pcr,yz é a mesma, podemos igualar as cargas críticas:

Passo 6

Substituindo a fórmula de pi^2 E Ixz(Kx L)^2 = pi^2 E Iyz(Ky L)^2 :
Ixz = Iyz
Os fatores de comprimento efetivo e podem ser considerados iguais se a contraventação não altera significativamente o modo de flambagem. Simplificando a equação:

Passo 7

Agora, substituímos os momentos de inércia:
b d^312 = d b^312
Cancelando termos comuns:
b d^3 = d b^3
Dividindo ambos os lados por d^2 = b^2 :
d = b
Tomando a raiz quadrada:

Resposta

A razão bd = 1 deve ser igual a 1 para que o fator de segurança seja o mesmo para flambagem nos planos e .

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