A comissão de formatura contratou junto à empresa BUSÃO um ônibus para transportar um grupo de alunos concluintes, nos seguintes termos:
I. O ônibus disponibiliza 50 assentos;
II. para cada assento ocupado, a empresa recebe R$ 60,00 fixos, mais um valor variável v;
III. o valor variável v é igual a n⋅R 60,00 fixos, mais um valor variável v; III o valor variável v é igual a n⋅Réúçõáá 1.000,00 e R$ 3.000,00.
b) R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00.
c) R$ 5.000,00 e R$ 6.000,00.
d) R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00.
e) R$ 9.000,00 e R$ 10.000,00.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a empresa BUSÃO que contratou um ônibus com 50 assentos para transportar alunos. A gente precisa descobrir qual é a maior receita que a empresa pode obter com esses termos. Os conteúdos que vamos usar aqui são função quadrática e otimização de funções. Para resolver, vamos precisar montar a função da receita e encontrar o seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • Seja $ x $ o número de assentos ocupados.
  • O número de assentos desocupados, então, é $ n = 50 - x $.

Passo 3

Agora, vamos entender como a receita é formada. Para cada assento ocupado, a empresa recebe:
  • Um valor fixo de R$60,00.
  • Um valor variável $ v $, que é igual a $ n \times R$10,00 $.
Então, o valor variável para cada assento ocupado é:
60,00 - Um valor variável
Portanto, a receita por assento ocupado é:
, que é igual a
A receita total $ R $ é o número de assentos ocupados multiplicado pela receita por assento:
10,00

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da receita total:
R(x) = x times [60 + 500 - 10x]
R(x) = x times (560 - 10x)
R(x) = 560x - 10x^2
Essa é uma função quadrática da forma:
R(x) = -10x^2 + 560x

Passo 5

Como a função é do tipo $ ax^2 + bx + c $ com $ a = -10 $ negativo, sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para baixo, ou seja, o valor máximo da receita está no vértice dessa parábola.
A fórmula para encontrar o $ x $ que maximiza a função é:
ax^2 + bx + c
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:
a = -10
x
x = -b2a
Então, o número de assentos ocupados que maximiza a receita é 28.

Passo 6

Agora, vamos calcular a receita máxima substituindo $ x = 28 $ na função $ R(x) $:
x = 28
R(x)
R(28) = 560 times 28 - 10 times 28^2
A receita máxima é de R$7.840,00.

Passo 7

Vamos ver qual das opções se encaixa com R$7.840,00:
a) R$1.000,00 e R$3.000,00 – Não
b) R$3.000,00 e R$5.000,00 – Não
c) R$5.000,00 e R$6.000,00 – Não
d) R$7.000,00 e R$9.000,00 – Sim
e) R$9.000,00 e R$10.000,00 – Não

Resposta

A maior receita que a empresa poderá obter está entre R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00. (Alternativa d)

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