Considere um avião voando em um espaço tridimensional e um ponto P = (1, 2, -1) localizado em um dos seus motores. A distância entre o ponto e o plano π: 3x - 4y - 5z + 1 = 0 que representa a asa do avião é uma medida importante para garantir a segurança durante o voo. A distância, em unidades de comprimento, do ponto P ao plano π equivale a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto $ P = (1, 2, -1) $ e o plano $ \pi: 3x - 4y - 5z + 1 = 0 $ no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância $ D $ entre um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e um plano da forma $ Ax + By + Cz + D = 0 $. A fórmula é:
D

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes do plano $ \pi $. A equação do plano é $ 3x - 4y - 5z + 1 = 0 $, então:
pi

Passo 4

O ponto que a gente tem é $ P(1, 2, -1) $. Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
P(1, 2, -1)

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
3 cdot 1 = 3
-4 cdot 2 = -8
-5 cdot (-1) = 5
3 + (-8) + 5 + 1 = 1
Então, o numerador é $ |1| = 1 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:
3^2 = 9
(-4)^2 = 16
(-5)^2 = 25
raiz9 + 16 + 25 = raiz50

Passo 7

Simplificando a raiz quadrada:
raiz50 = raiz25 cdot 2 = 5raiz2

Passo 8

Agora, vamos calcular a distância $ D $:
D

Resposta

A distância entre o ponto $ P = (1, 2, -1) $ e o plano $ \pi: 3x - 4y - 5z + 1 = 0 $ é igual a $ \frac{\sqrt{2}}{10} $ unidades de comprimento.

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