Considere um avião voando em um espaço tridimensional e um ponto P = (1, 2, -1) localizado em um dos seus motores. A distância entre o ponto e o plano π: 3x - 4y - 5z + 1 = 0 que representa a asa do avião é uma medida importante para garantir a segurança durante o voo. A distância, em unidades de comprimento, do ponto P ao plano π equivale a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto $ P = (1, 2, -1) $ e o plano $ \pi: 3x - 4y - 5z + 1 = 0 $ no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância $ D $ entre um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e um plano da forma $ Ax + By + Cz + D = 0 $. A fórmula é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes do plano $ \pi $. A equação do plano é $ 3x - 4y - 5z + 1 = 0 $, então:
Passo 4
O ponto que a gente tem é $ P(1, 2, -1) $. Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Vamos calcular o numerador primeiro:
Então, o numerador é $ |1| = 1 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular o denominador:
Passo 7
Simplificando a raiz quadrada:
Passo 8
Agora, vamos calcular a distância $ D $:
Resposta
A distância entre o ponto $ P = (1, 2, -1) $ e o plano $ \pi: 3x - 4y - 5z + 1 = 0 $ é igual a $ \frac{\sqrt{2}}{10} $ unidades de comprimento.