(1,5) Considere uma barragem homogênea de 50 m de altura, assentada sobre uma areia aluvionar com 20 m de espessura sobre uma rocha impermeável. A crista da barragem possui 7 m de largura, e as inclinações dos taludes de montante e jusante são, respectivamente, 1:3,0 e 1:2,0. Considerando as permeabilidades do aterro igual 4 times 10^-7 cm / s e da fundação igual 3 times 10^-3 cm / s. Dimensione um tapete de montante, do mesmo material do aterro, que promova uma redução de, no mínimo, 50% da vazão na fundação da barragem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barragem de 50 metros de altura construída sobre areia aluvionar com 20 metros de espessura e sobre uma rocha impermeável. A barragem tem uma largura de crista de 7 metros, e as inclinações dos taludes são 1:3 na montante e 1:2 na jusante. A gente também sabe as permeabilidades do aterro ( 4 times 10^-7 cm/s) e da fundação ( 3 times 10^-3 cm/s). O objetivo aqui é dimensionar um tapete de montante, feito do mesmo material que o aterro, que reduza pelo menos 50% da vazão na fundação da barragem. Para isso, vamos precisar entender conceitos de fluxo de água através de materiais, calcular fluxos atuais e depois dimensionar o tapete para atingir a redução desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é permeabilidade. A permeabilidade ( k) de um material indica o quanto a água pode passar por ele. Quanto menor o k, menor a vazão. Aqui, o aterro tem uma permeabilidade de 4 times 10^-7 cm/s e a fundação 3 times 10^-3 cm/s. A idea é usar o tapete para diminuir a vazão total na fundação.

Passo 3

Vamos calcular a área de fluxo na fundação sem o tapete. A altura da barragem é 50 m, então o comprimento da fundação é 50 m. A largura da crista é 7 m, e as inclinações dos taludes são 1:3 e 1:2, o que significa que:
  • Talude montante: para cada 1 m de elevação, tem 3 m de horizontal.
  • Talude jusante: para cada 1 m de elevação, tem 2 m de horizontal.
Então, a largura total da barragem na base será:
Largura base montante = 3 * 50 = 150 m
Largura base jusante = 2 * 50 = 100 m
Largura total da fundação = 150 + 7 + 100 = 257 m

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo de água na fundação sem o tapete usando a fórmula de Darcy:
Q = k times A times i
Onde:
  • Q é o fluxo de água (cm³/s),
  • k é a permeabilidade do material (cm/s),
  • A é a área de fluxo (cm²),
  • i é a inclinação hidráulica (dimensionless).
Assumindo que a inclinação hidráulica i seja igual à inclinação da barragem, vamos simplificar para i = 1.
Convertendo as medidas para centímetros:
  • Área da fundação A = 257 , m times 50 , m = 12.850 , m² = 1.285 times 10^7 , cm²²².
Fluxo na fundação:
Qfundação = 3 times 10^-3 , cms times 1.285 times 10^7 , cm² times 1 = 3.855 times 10^4 , cm³/s çã²³

Passo 5

Queremos reduzir esse fluxo em pelo menos 50%, ou seja, o novo fluxo Qnovo deve ser:
Qnovo = Qfundação2 = 3.855 times 10^42 = 1.9275 times 10^4 , cm³/s çã³

Passo 6

Agora, vamos adicionar o tapete de montante. Esse tapete terá a mesma permeabilidade do aterro ( 4 times 10^-7 cm/s). Precisamos encontrar a área adicional Atapete que, junto com a área da fundação, resulte no novo fluxo desejado.
A equação fica:
Qnovo = kfundação times Afundação times i + ktapete times Atapete times i çãçã
Substituindo os valores:
1.9275 times 10^4 = 3 times 10^-3 times 1.285 times 10^7 + 4 times 10^-7 times Atapete

Passo 7

Resolvendo para Atapete:
Primeiro, calculamos o fluxo na fundação:
3 times 10^-3 times 1.285 times 10^7 = 3.855 times 10^4 , cm³/s ³
Então,
1.9275 times 10^4 = 3.855 times 10^4 + 4 times 10^-7 times Atapete
Subtraindo 3.855 times 10^4 de ambos os lados:
-1.9275 times 10^4 = 4 times 10^-7 times Atapete
Notamos que algo está errado, pois a área não pode ser negativa. Isso indica que precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 8

Na verdade, ao adicionar o tapete, estamos criando uma nova área de fluxo que deve contribuir para reduzir o fluxo total. Portanto, a equação correta seria considerar a resistência adicionada pelo tapete, reduzindo efetivamente a vazão. Para simplificar, vamos assumir que a diminuição de fluxo é diretamente proporcional à área do tapete.
Então, para reduzir 50%, precisamos que o fluxo através do tapete seja igual ao fluxo pela fundação. Portanto:
4 times 10^-7 times Atapete = 3 times 10^-3 times 1.285 times 10^7

Passo 9

Resolvendo para Atapete:
Atapete = 3 times 10^-3 times 1.285 times 10^74 times 10^-7 = 3.855 times 10^44 times 10^-7 = 9.6375 times 10^10 , cm² ²
Convertendo para metros quadrados:
Atapete = 9.6375 times 10^10 , cm²10^4 , cm²/m² = 9.6375 times 10^6 , m² ²²²²

Passo 10

Agora, precisamos dimensionar o tapete com essa área. Sabemos que o tapete será colocado na montante da barragem, que tem uma largura de base de 150 m. Então, a largura do tapete L será:
L = Atapetecomprimento = 9.6375 times 10^650 = 1.9275 times 10^5 , m
Isso resulta em uma largura de tapete extremamente grande, o que indica que a abordagem inicial pode não ser adequada. Geralmente, soluções mais práticas envolvem aumentar a espessura ou utilizar materiais com permeabilidade mais baixa.

Resposta

Após os cálculos, concluímos que para reduzir pela metade a vazão na fundação da barragem, seria necessário um tapete de montante com uma área de aproximadamente 9.6375 times 10^6 , m²². No entanto, devido ao impraticável tamanho resultante, recomenda-se revisar o projeto ou utilizar métodos alternativos para alcançar a redução desejada.

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