Considere o circuito da figura, em que o amplificador é suposto ter ganho de tensão e resistência de entrada infinitos e resistência de saída nula. Determine a função de transferência
e calcule os valores da amplitude e da fase de
para
e quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar a função de transferência $ A_{v}(j \omega) = \frac{V_{o}(j \omega)}{V_{s}(j \omega)} $ de um circuito amplificador específico. Além disso, precisamos calcular a amplitude e a fase dessa função para duas situações: quando a frequência $ \omega = 0 $ (corrente contínua) e quando $ \omega $ tende ao infinito (altas frequências).
Para isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo amplificadores operacionais, análise de frequência e teoria de circuitos em regime senoidal. Vamos precisar conhecer as características do amplificador dadas: ganho de tensão infinito, resistência de entrada infinita e resistência de saída nula. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de transferência $ A_{v}(j \omega) $. Ela nos diz como a tensão de saída $ V_{o} $ se relaciona com a tensão de entrada $ V_{s} $ em função da frequência $ \omega $. Ou seja, ela mostra como o circuito amplifica ou atenua o sinal de entrada em diferentes frequências.
A fórmula geral para a função de transferência em termos de impedâncias é:
Onde $ Z_{saída} $ e $ Z_{entrada} $ são as impedâncias vistas na saída e na entrada do circuito, respectivamente.
Passo 3
Sabendo que o amplificador tem resistência de entrada infinita, isso significa que praticamente nenhuma corrente entra no amplificador. Isso nos permite simplificar os cálculos, já que a tensão na entrada não será afetada pela corrente.
Além disso, a resistência de saída nula significa que o amplificador pode fornecer corrente ilimitada à carga sem afetar a tensão de saída. Na prática, isso implica que a impedância de saída $ Z_{saída} $ é zero.
Passo 4
Agora, vamos modelar o circuito. Como não temos a figura, vamos supor que seja um amplificador não inversor com um resistor de realimentação $ R_f $ e um resistor de entrada $ R_{in} $. A função de transferência para esse tipo de circuito é geralmente dada por:
No entanto, se houver componentes reativos (como capacitores), a função de transferência pode depender da frequência $ \omega $. Para este exercício, vamos assumir que há um capacitor $ C $ em série com $ R_f $, o que introduz uma dependência em $ \omega $.
Passo 5
Com a presença do capacitor, a impedância do resistor-capacitor em série é:
Então, a função de transferência fica:
Para simplificar, vamos combinar os termos:
Passo 6
Agora, vamos analisar a função de transferência nas duas situações pedidas:
-
Quando $ \omega = 0 $:
- A expressão $ \frac{1}{j \omega C R_{in}} $ tende a infinito porque $ \omega = 0 $.
- Portanto, $ A_{v}(j 0) = 1 + \frac{R_f}{R_{in}} + \infty $, o que implica que a amplitude tende a infinito e a fase é 90 graus (já que $ \frac{1}{j \omega} $ corresponde a uma fase de -90 graus, mas como está no denominador, inverte para +90 graus).
-
Quando $ \omega \rightarrow \infty $:
- A expressão $ \frac{1}{j \omega C R_{in}} $ tende a zero porque $ \omega $ está indo para infinito.
- Portanto, $ A_{v}(j \infty) = 1 + \frac{R_f}{R_{in}} + 0 = 1 + \frac{R_f}{R_{in}} $.
- A amplitude é $ 1 + \frac{R_f}{R_{in}} $ e a fase é 0 graus, já que não há componente imaginária.
Resposta
A função de transferência é
Para $ \omega = 0 $:
- Amplitude: Tendência ao infinito
- Fase: 90 graus
Para $ \omega \rightarrow \infty $:
- Amplitude: $ 1 + \frac{R_f}{R_{in}} $
- Fase: 0 graus