Considere uma PA crescente de três termos, em que a soma de seus termos é igual a 30. Assim, mantendo o segundo termo desta sequência e, adicionando 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, temos uma PG. Nestas condições, assinale a alternativa que apresenta a soma do 1° termo da PA com o 3° termo da PG.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Progressão Aritmética (PA) crescente com três termos cuja soma é 30. Além disso, ao manter o segundo termo e ajustar o primeiro adicionando 2 unidades e o terceiro adicionando 3 unidades, obtemos uma Progressão Geométrica (PG). Nosso objetivo é encontrar a soma do primeiro termo da PA com o terceiro termo da PG.
Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das PA e PG, além de usar algumas equações básicas relacionadas a elas.
Passo 2
Vamos chamar os três termos da PA de $ a - d $, $ a $ e $ a + d $, onde $ a $ é o segundo termo e $ d $ é a diferença comum da PA. Como a PA é crescente, sabemos que $ d > 0 $.
A soma desses termos é 30:
Simplificando:
Passo 3
Agora, ajustamos os termos para formar uma PG. O segundo termo permanece $ a = 10 $. O primeiro termo da PG será $ (a - d) + 2 = 10 - d + 2 = 12 - d $ e o terceiro termo será $ (a + d) + 3 = 10 + d + 3 = 13 + d $.
Os termos da PG são então $ 12 - d $, $ 10 $ e $ 13 + d $.
Passo 4
Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Portanto:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ d $.
Multiplicando ambos os lados por $ 10(12 - d) $:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática $ d^2 + d - 56 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -56 $.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Como $ d > 0 $ (PA crescente), descartamos $ d = -8 $ e temos $ d = 7 $.
Passo 6
Agora que temos $ d = 7 $, podemos encontrar os termos da PA:
E os termos da PG:
Resposta
A soma do primeiro termo da PA com o terceiro termo da PG é:
Portanto, a resposta final é 23.