Considere uma PA crescente de três termos, em que a soma de seus termos é igual a 30. Assim, mantendo o segundo termo desta sequência e, adicionando 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, temos uma PG. Nestas condições, assinale a alternativa que apresenta a soma do 1° termo da PA com o 3° termo da PG.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Progressão Aritmética (PA) crescente com três termos cuja soma é 30. Além disso, ao manter o segundo termo e ajustar o primeiro adicionando 2 unidades e o terceiro adicionando 3 unidades, obtemos uma Progressão Geométrica (PG). Nosso objetivo é encontrar a soma do primeiro termo da PA com o terceiro termo da PG.
Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das PA e PG, além de usar algumas equações básicas relacionadas a elas.

Passo 2

Vamos chamar os três termos da PA de $ a - d $, $ a $ e $ a + d $, onde $ a $ é o segundo termo e $ d $ é a diferença comum da PA. Como a PA é crescente, sabemos que $ d > 0 $.
A soma desses termos é 30:
a - d
Simplificando:
a

Passo 3

Agora, ajustamos os termos para formar uma PG. O segundo termo permanece $ a = 10 $. O primeiro termo da PG será $ (a - d) + 2 = 10 - d + 2 = 12 - d $ e o terceiro termo será $ (a + d) + 3 = 10 + d + 3 = 13 + d $.
Os termos da PG são então $ 12 - d $, $ 10 $ e $ 13 + d $.

Passo 4

Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Portanto:
1012 - d = 13 + d10
Vamos resolver essa equação para encontrar $ d $.
Multiplicando ambos os lados por $ 10(12 - d) $:
d
10(12 - d)
Simplificando:
10 times 10 = (13 + d)(12 - d)
Rearranjando:
100 = 156 - 13d + 12d - d^2

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática $ d^2 + d - 56 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
d^2 + d - 56 = 0
onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -56 $.
Calculando o discriminante:
d = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então:
a = 1
Isso nos dá duas soluções:
b = 1
Como $ d > 0 $ (PA crescente), descartamos $ d = -8 $ e temos $ d = 7 $.

Passo 6

Agora que temos $ d = 7 $, podemos encontrar os termos da PA:
d = 7
Primeiro termo da PA = a - d = 10 - 7 = 3
Segundo termo da PA = a = 10
E os termos da PG:
Terceiro termo da PA = a + d = 10 + 7 = 17
Primeiro termo da PG = 12 - d = 12 - 7 = 5
Segundo termo da PG = 10

Resposta

A soma do primeiro termo da PA com o terceiro termo da PG é:
3 + 20 = 23
Portanto, a resposta final é 23.

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