Considere duas espiras circulares coplanares e concêntricas. Uma espira, de raio R1, é percorrida por uma corrente i1 e a segunda espira, de raio R2 = 2R1/5, por uma corrente i2. Nessas condições, o campo magnético no centro das espiras é nulo. Pode-se afirmar que a razão entre as correntes i1 e i2 é:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas espiras circulares que estão no mesmo plano e têm o mesmo centro (são concêntricas). A primeira espira tem raio $ R_1 $ e passa uma corrente $ i_1 $. A segunda espira tem um raio menor, $ R_2 = \frac{2R_1}{5} $, e passa uma corrente $ i_2 $. A condição dada é que o campo magnético no centro das espiras seja nulo. A gente precisa descobrir qual é a razão entre as correntes $ i_1 $ e $ i_2 $. Para resolver isso, vamos usar a teoria do campo magnético gerado por uma espira circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético no centro de uma espira circular. A fórmula é:
onde:
- $ B $ é o campo magnético,
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
- $ I $ é a corrente na espira,
- $ R $ é o raio da espira.
Essa fórmula nos diz que o campo magnético gerado por uma espira no seu centro depende da corrente que passa por ela e inversamente do seu raio.
Passo 3
Como temos duas espiras, vamos calcular o campo magnético de cada uma no centro e somar esses campos. A condição é que a soma desses campos seja zero:
Isso significa que o campo gerado pela primeira espira ($ B_1
B_2 $).
Passo 4
Vamos expressar $ B_1 $ e $ B_2 $ usando a fórmula que vimos:
Como os campos precisam se cancelar, temos:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação eliminando $ \mu_0 $ e multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
Isso quer dizer que:
Passo 6
Como estamos interessados na razão entre as correntes $ \frac{i_1}{i_2} $, vamos rearranjar a equação:
O sinal negativo indica que as correntes estão em direções opostas, o que faz sentido porque os campos precisam se cancelar.
Passo 7
Sabemos que $ R_2 = \frac{2R_1}{5} $. Vamos substituir isso na equação:
Ignorando o sinal (já que estamos interessados na razão de magnitudes), temos:
Resposta
A razão entre as correntes é $ \frac{i_1}{i_2} = \frac{5}{2} $.