Considere que o modelo matemático utilizado no estudo da velocidade V, de uma partícula de um fluido escoando em um tubo, seja diretamente proporcional à diferença dos quadrados do raio R da secção transversal do tubo e da distância x da partícula ao centro da secção que a contém. Isto é, V(x) = K²(R² – x²), em que K é uma constante positiva. O valor de x, em função de R, para que a velocidade de escoamento de uma partícula seja máxima é de
  • 0 R 2R
    KR K²R²

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade $ V $ de uma partícula de um fluido que está escoando em um tubo. A velocidade é dada pela fórmula $ V(x) = K2(R2 - x^2) $, onde:
  • $ K $ é uma constante positiva,
  • $ R $ é o raio da seção transversal do tubo,
  • $ x $ é a distância da partícula ao centro da seção.
O que queremos descobrir é qual valor de $ x $, em função de $ R $, faz com que a velocidade $ V(x) $ seja máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa maximizar a velocidade $ V(x) $. Para encontrar o máximo de uma função, geralmente usamos o cálculo diferencial. Isso envolve encontrar a derivada da função e descobrir onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ V(x) $ em relação a $ x $. A função dada é:
V(x)
A derivada de $ V(x) $ em relação a $ x $ é:
x
Então, temos:
V(x) = K^2(R^2 - x^2)

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos onde $ V(x) $ pode ter um máximo, igualamos a derivada a zero:
V(x)
Resolvendo para $ x $:
-2K^2x = 0

Passo 5

Achamos que $ x = 0 $ é um ponto crítico. Para ter certeza de que é um máximo, podemos analisar a segunda derivada ou pensar no comportamento da função.
Observando $ V(x) = K2(R2 - x^2) $, vemos que quando $ x = 0 $, $ V(x) = K2R2 $, que é o valor máximo possível para $ V(x) $ já que $ x^2 $ sempre é positivo e diminui $ V(x) $ conforme $ x $ aumenta.

Resposta

O valor de $ x $, em função de $ R $, para que a velocidade de escoamento seja máxima é $ x = 0 $.

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