Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela Preço da cartela (R
500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo.
b) Arthur e Eduardo.
c) Bruno e Caio.
d) Arthur e Bruno.
e) Douglas e Eduardo.
a) Caio e Eduardo.
b) Arthur e Eduardo.
c) Bruno e Caio.
d) Arthur e Bruno.
e) Douglas e Eduardo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um jogo de apostas onde você escolhe de 6 a 10 números numa cartela de 60 disponíveis. Depois, 6 números são sorteados, e se todos os 6 estiverem na sua seleção, você ganha. A gente vai precisar entender um pouquinho de probabilidade e combinações para resolver isso. Além disso, tem o custo das cartelas que varia conforme a quantidade de números que você escolhe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade de ganhar com uma cartela. A probabilidade de acertar os 6 números sorteados está relacionada ao número de combinações possíveis. A fórmula de combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens (no caso, 60 números),
- $ k $ é o número de itens que escolhemos (de 6 a 10).
Passo 3
Para cada cartela, a probabilidade de ganhar é:
Isso porque $ C(60, 6) $ é o total de combinações possíveis de 6 números dentre 60.
Passo 4
Vamos calcular $ C(60, 6) $:
Então, o total de combinações possíveis é 50.063.860.
Passo 5
Agora, vamos ver o que cada apostador fez e calcular quantas cartelas ele comprou e a probabilidade total de ganhar.
Arthur:
- 250 cartelas com 6 números cada.
- Cada cartela com 6 números tem uma probabilidade de ganhar:
- Total de probabilidade:
Bruno:
- 41 cartelas com 7 números e 4 cartelas com 6 números.
- Cartelas com 7 números: cada uma cobre $ C(7, 6) = 7 $ combinações.
- Total para 41 cartelas:
- Cartelas com 6 números:
- Probabilidade total de Bruno:
Caio:
- 12 cartelas com 8 números e 10 cartelas com 6 números.
- Cada cartela com 8 números cobre $ C(8, 6) = 28 $ combinações.
- Total para 12 cartelas:
- Cartelas com 6 números:
- Probabilidade total de Caio:
Douglas:
- 4 cartelas com 9 números.
- Cada cartela com 9 números cobre $ C(9, 6) = 84 $ combinações.
- Para 4 cartelas:
Eduardo:
- 2 cartelas com 10 números.
- Cada cartela com 10 números cobre $ C(10, 6) = 210 $ combinações.
- Para 2 cartelas:
Passo 6
Agora, vamos comparar as probabilidades:
- Arthur: ~0,000005
- Bruno: ~0,00000578
- Caio: ~0,0000069
- Douglas: ~0,0000067
- Eduardo: ~0,0000084
As duas maiores probabilidades são de Eduardo e Caio.
Resposta
a) Caio e Eduardo.