Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela Preço da cartela (R ) 6 2,00 7 12,00 8 40,00 9 125,00 10 250,00 Cinco apostadores, cada um com R 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo.
b) Arthur e Eduardo.
c) Bruno e Caio.
d) Arthur e Bruno.
e) Douglas e Eduardo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um jogo de apostas onde você escolhe de 6 a 10 números numa cartela de 60 disponíveis. Depois, 6 números são sorteados, e se todos os 6 estiverem na sua seleção, você ganha. A gente vai precisar entender um pouquinho de probabilidade e combinações para resolver isso. Além disso, tem o custo das cartelas que varia conforme a quantidade de números que você escolhe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de ganhar com uma cartela. A probabilidade de acertar os 6 números sorteados está relacionada ao número de combinações possíveis. A fórmula de combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens (no caso, 60 números),
  • $ k $ é o número de itens que escolhemos (de 6 a 10).

Passo 3

Para cada cartela, a probabilidade de ganhar é:
P = C(números escolhidos, 6)C(60, 6) ú
Isso porque $ C(60, 6) $ é o total de combinações possíveis de 6 números dentre 60.

Passo 4

Vamos calcular $ C(60, 6) $:
C(60, 6)
Então, o total de combinações possíveis é 50.063.860.

Passo 5

Agora, vamos ver o que cada apostador fez e calcular quantas cartelas ele comprou e a probabilidade total de ganhar.
Arthur:
  • 250 cartelas com 6 números cada.
  • Cada cartela com 6 números tem uma probabilidade de ganhar:
PA = C(6, 6)C(60, 6) = 150.063.860
  • Total de probabilidade:
250 times 150.063.860 approx 0,000005
Bruno:
  • 41 cartelas com 7 números e 4 cartelas com 6 números.
  • Cartelas com 7 números: cada uma cobre $ C(7, 6) = 7 $ combinações.
C(7, 6) = 7
  • Total para 41 cartelas:
PB7 = 750.063.860
  • Cartelas com 6 números:
41 times 750.063.860 approx 0,0000057
  • Probabilidade total de Bruno:
4 times 150.063.860 approx 0,00000008
Caio:
  • 12 cartelas com 8 números e 10 cartelas com 6 números.
  • Cada cartela com 8 números cobre $ C(8, 6) = 28 $ combinações.
0,0000057 + 0,00000008 approx 0,00000578
  • Total para 12 cartelas:
C(8, 6) = 28
  • Cartelas com 6 números:
PC8 = 2850.063.860
  • Probabilidade total de Caio:
12 times 2850.063.860 approx 0,0000067
Douglas:
  • 4 cartelas com 9 números.
  • Cada cartela com 9 números cobre $ C(9, 6) = 84 $ combinações.
10 times 150.063.860 approx 0,0000002
  • Para 4 cartelas:
0,0000067 + 0,0000002 approx 0,0000069
Eduardo:
  • 2 cartelas com 10 números.
  • Cada cartela com 10 números cobre $ C(10, 6) = 210 $ combinações.
C(9, 6) = 84
  • Para 2 cartelas:
PD = 8450.063.860

Passo 6

Agora, vamos comparar as probabilidades:
  • Arthur: ~0,000005
  • Bruno: ~0,00000578
  • Caio: ~0,0000069
  • Douglas: ~0,0000067
  • Eduardo: ~0,0000084
As duas maiores probabilidades são de Eduardo e Caio.

Resposta

a) Caio e Eduardo.

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