Considere as seguintes afirmativas: I. Se
ent
. II. Se existe
entªo existe
. III. Se
uma fun,
ao definida em
e
, ent
ao existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmativas sobre limites e funções contínuas, e precisamos analisar se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, valor absoluto e o Teorema do Valor Intermediário, que fala sobre funções contínuas em um intervalo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmativa:
I. Se
então
.
Aqui, estamos falando sobre o limite de uma função e o limite do valor absoluto dessa função. O que sabemos da teoria? Se o limite de
quando
se aproxima de
é
, então tomar o valor absoluto dentro do limite não altera o resultado de forma absoluta. Isso porque o valor absoluto é uma operação contínua.
Por exemplo, se
, então
, e se
, então
. Sempre que o limite de
existir, o limite de
também existirá e será igual ao valor absoluto de
.
Então, essa afirmativa está correta.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmativa:
II. Se existe
então existe
.
Aqui, a questão é se o limite do valor absoluto de
existir garante que o limite de
em si também existe. Para entendermos isso, precisamos lembrar que nem sempre o limite de
existe mesmo que o limite de
exista.
Por exemplo, considere a função
quando
e
. Quando
se aproxima de 0,
oscila entre 0 e 1, então
. No entanto,
não existe porque
continua oscilando sem se aproximar de um único valor.
Portanto, essa afirmativa está errada.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira afirmativa:
III. Se
é uma função contínua em
e
, então existe
tal que
.
Essa é uma aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então ela deve necessariamente assumir o valor zero em algum ponto dentro desse intervalo.
Como
e
, pela continuidade de
, existe pelo menos um ponto
entre
e
onde
.
Portanto, essa afirmativa está correta.
Resposta
Das três afirmativas apresentadas:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
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E definida e cont
A fun,
ao
ao possui ra
Sejam a, b
R. Considere a fun,
ao cont
0