Considere as seguintes afirmativas: I. Se ent . II. Se existe entªo existe . III. Se uma fun, ao definida em e , ent ao existe tal que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmativas sobre limites e funções contínuas, e precisamos analisar se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, valor absoluto e o Teorema do Valor Intermediário, que fala sobre funções contínuas em um intervalo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmativa:
I. Se então .
Aqui, estamos falando sobre o limite de uma função e o limite do valor absoluto dessa função. O que sabemos da teoria? Se o limite de quando se aproxima de é , então tomar o valor absoluto dentro do limite não altera o resultado de forma absoluta. Isso porque o valor absoluto é uma operação contínua.
Por exemplo, se , então , e se , então . Sempre que o limite de existir, o limite de também existirá e será igual ao valor absoluto de .
Então, essa afirmativa está correta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmativa:
II. Se existe então existe .
Aqui, a questão é se o limite do valor absoluto de existir garante que o limite de em si também existe. Para entendermos isso, precisamos lembrar que nem sempre o limite de existe mesmo que o limite de exista.
Por exemplo, considere a função quando e . Quando se aproxima de 0, oscila entre 0 e 1, então . No entanto, não existe porque continua oscilando sem se aproximar de um único valor.
Portanto, essa afirmativa está errada.

Passo 4

Por último, vamos analisar a terceira afirmativa:
III. Se é uma função contínua em e , então existe tal que .
Essa é uma aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então ela deve necessariamente assumir o valor zero em algum ponto dentro desse intervalo.
Como e , pela continuidade de , existe pelo menos um ponto entre e onde .
Portanto, essa afirmativa está correta.

Resposta

Das três afirmativas apresentadas:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.

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