Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(b) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda e n
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, a reta $ n $ e a reta $ r $, e precisamos descobrir como elas se relacionam no espaço. Isso inclui verificar se elas são paralelas, se se cruzam em algum ponto, e se não se cruzam nem são paralelas, então estão em posições chamadas de “skew” (ou seja, não estão no mesmo plano). Também vamos calcular o ângulo entre elas e a distância mínima entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como vetores diretores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas $ n $ e $ r $:
Reta $ n $:
n
Reta $ r $:
r
Para trabalhar com elas, precisamos reescrever essas equações na forma paramétrica, ou seja, expressando $ x $, $ y $ e $ z $ em função de um parâmetro.
Passo 3
Vamos encontrar a forma paramétrica de cada reta.
Para a reta $ n $:
Temos as equações:
n
Vamos chamar $ y = t $ (onde $ t $ é um parâmetro real).
Agora que temos as formas paramétricas das retas $ n $ e $ r $, vamos identificar os vetores diretores de cada uma.
Vetor diretor da reta $ n $:
Na equação paramétrica de $ n $:
n
O coeficiente de $ t $ em $ x $, $ y $ e $ z $ nos dá o vetor diretor:
r
Vetor diretor da reta $ r $:
Na equação paramétrica de $ r $:
n
O coeficiente de $ s $ em $ x $, $ y $ e $ z $ nos dá o vetor diretor:
n
Passo 5
Para determinar a posição relativa entre as retas $ n $ e $ r $, vamos verificar se elas são paralelas, concorrentes (intersectam-se) ou estão em posição skew (não estão no mesmo plano e não se cruzam).
Primeiro, verificamos se os vetores diretores são proporcionais, ou seja, se são múltiplos um do outro.
Os vetores não são múltiplos entre si, então as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, buscamos valores de $ t $ e $ s $ que satisfaçam simultaneamente as equações paramétricas de $ n $ e $ r $:
r
Da segunda equação, $ t = 2s $. Substituindo na primeira:
dn = ( dfrac12, 1, dfrac52 )
Agora, substituindo $ s = \dfrac{19}{2} $ na segunda equação, $ t = 2 \times \dfrac{19}{2} = 19 $.
Vamos verificar na terceira equação:
dr = (2, 2, -1)
Como $ 43 \neq - \dfrac{23}{2} $, não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, as retas $ n $ e $ r $ não se intersectam e não são paralelas. Isso significa que elas estão em posição skew.
Passo 6
Agora, vamos calcular o ângulo entre as retas $ n $ e $ r $. Para isso, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores diretores:
n
Onde:
$ \vec{d_n} \cdot \vec{d_r} $ é o produto escalar dos vetores diretores.
$ |\vec{d_n}| $ e $ |\vec{d_r}| $ são as normas (comprimentos) dos vetores diretores.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
r
Agora, as normas:
cos theta = dfracdn cdot dr|dn| |dr|
dn cdot dr
Agora, substituindo na fórmula:
|dn|
Para encontrar o ângulo $ \theta $, aplicamos o arco cosseno:
|dr|
Passo 7
Como as retas $ n $ e $ r $ estão em posição skew, podemos calcular a distância mínima entre elas usando a seguinte fórmula:
n
Onde:
$ \vec{P_n} $ e $ \vec{P_r} $ são pontos quaisquer nas retas $ n $ e $ r $, respectivamente.
$ \vec{d_n} \times \vec{d_r} $ é o produto vetorial dos vetores diretores.
Primeiro, escolhemos pontos nas retas:
Para $ n $, quando $ t = 0 $: r
Para $ r $, quando $ s = 0 $: d = dfrac|dn cdot (Pr - Pn)||dn times dr|
Calculando $ \vec{P_r} - \vec{P_n} $:
Pn
Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{d_n} \times \vec{d_r} $:
As retas $ n $ e $ r $ estão em posição skew (não são paralelas nem se intersectam), formam um ângulo de aproximadamente $ 88,9^\circ $ entre si, e a distância mínima entre elas é de aproximadamente $ 0,183 $ unidades.