Considere as seguintes retas:
E os planos
t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l x+2 y-z=7
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(b) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda e n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, a reta $ n $ e a reta $ r $, e precisamos descobrir como elas se relacionam no espaço. Isso inclui verificar se elas são paralelas, se se cruzam em algum ponto, e se não se cruzam nem são paralelas, então estão em posições chamadas de “skew” (ou seja, não estão no mesmo plano). Também vamos calcular o ângulo entre elas e a distância mínima entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como vetores diretores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas $ n $ e $ r $:
  • Reta $ n $:
    n
  • Reta $ r $:
    r
Para trabalhar com elas, precisamos reescrever essas equações na forma paramétrica, ou seja, expressando $ x $, $ y $ e $ z $ em função de um parâmetro.

Passo 3

Vamos encontrar a forma paramétrica de cada reta.
Para a reta $ n $:
Temos as equações:
n
Vamos chamar $ y = t $ (onde $ t $ é um parâmetro real).
Então:
x - 2 = dfracy + 12 e x + 2y - z = 7
Agora, usando a segunda equação:
y = t
Isolando $ z $:
t
Então, a forma paramétrica da reta $ n $ é:
dfracy + 12 = dfract + 12 implies x - 2 = dfract + 12 implies x = dfract + 12 + 2 = dfract + 1 + 42 = dfract + 52
Para a reta $ r $:
Temos:
x + 2y - z = 7 implies dfract + 52 + 2t - z = 7 implies dfract + 5 + 4t2 - z = 7 implies dfrac5t + 52 - z = 7
Vamos chamar esse valor comum de $ s $ (parâmetro real).
Então:
z
Então, a forma paramétrica da reta $ r $ é:
z = dfrac5t + 52 - 7 = dfrac5t + 5 - 142 = dfrac5t - 92

Passo 4

Agora que temos as formas paramétricas das retas $ n $ e $ r $, vamos identificar os vetores diretores de cada uma.
Vetor diretor da reta $ n $:
Na equação paramétrica de $ n $:
n
O coeficiente de $ t $ em $ x $, $ y $ e $ z $ nos dá o vetor diretor:
r
Vetor diretor da reta $ r $:
Na equação paramétrica de $ r $:
n
O coeficiente de $ s $ em $ x $, $ y $ e $ z $ nos dá o vetor diretor:
n

Passo 5

Para determinar a posição relativa entre as retas $ n $ e $ r $, vamos verificar se elas são paralelas, concorrentes (intersectam-se) ou estão em posição skew (não estão no mesmo plano e não se cruzam).
Primeiro, verificamos se os vetores diretores são proporcionais, ou seja, se são múltiplos um do outro.
Comparando $ \vec{d_n} = \left( \dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{5}{2} \right) $ e $ \vec{d_r} = (2, 2, -1) $, vemos que:
n
Os vetores não são múltiplos entre si, então as retas não são paralelas.
Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, buscamos valores de $ t $ e $ s $ que satisfaçam simultaneamente as equações paramétricas de $ n $ e $ r $:
r
Da segunda equação, $ t = 2s $. Substituindo na primeira:
dn = ( dfrac12, 1, dfrac52 )
Agora, substituindo $ s = \dfrac{19}{2} $ na segunda equação, $ t = 2 \times \dfrac{19}{2} = 19 $.
Vamos verificar na terceira equação:
dr = (2, 2, -1)
Como $ 43 \neq - \dfrac{23}{2} $, não há solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Portanto, as retas $ n $ e $ r $ não se intersectam e não são paralelas. Isso significa que elas estão em posição skew.

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo entre as retas $ n $ e $ r $. Para isso, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores diretores:
n
Onde:
  • $ \vec{d_n} \cdot \vec{d_r} $ é o produto escalar dos vetores diretores.
  • $ |\vec{d_n}| $ e $ |\vec{d_r}| $ são as normas (comprimentos) dos vetores diretores.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
r
Agora, as normas:
cos theta = dfracdn cdot dr|dn| |dr|
dn cdot dr
Agora, substituindo na fórmula:
|dn|
Para encontrar o ângulo $ \theta $, aplicamos o arco cosseno:
|dr|

Passo 7

Como as retas $ n $ e $ r $ estão em posição skew, podemos calcular a distância mínima entre elas usando a seguinte fórmula:
n
Onde:
  • $ \vec{P_n} $ e $ \vec{P_r} $ são pontos quaisquer nas retas $ n $ e $ r $, respectivamente.
  • $ \vec{d_n} \times \vec{d_r} $ é o produto vetorial dos vetores diretores.
Primeiro, escolhemos pontos nas retas:
  • Para $ n $, quando $ t = 0 $: r
  • Para $ r $, quando $ s = 0 $: d = dfrac|dn cdot (Pr - Pn)||dn times dr|
Calculando $ \vec{P_r} - \vec{P_n} $:
Pn
Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{d_n} \times \vec{d_r} $:
Pr
n
r
dn times dr
Calculando a norma do produto vetorial:
n
Agora, calculamos o produto escalar $ \vec{d_n} \cdot (\vec{P_r} - \vec{P_n}) $:
t = 0
Então, a distância é:
Pn = ( dfrac52, 0, dfrac-92 )

Resposta

As retas $ n $ e $ r $ estão em posição skew (não são paralelas nem se intersectam), formam um ângulo de aproximadamente $ 88,9^\circ $ entre si, e a distância mínima entre elas é de aproximadamente $ 0,183 $ unidades.

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