Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de 12 cm. O volume do copo é:
A) 72√ 3 π cm³
B) 36√3 π cm³
C) 72 π cm³
D) 36 π cm³
E) 72 √2 π cm³
A) 72√ 3 π cm³
B) 36√3 π cm³
C) 72 π cm³
D) 36 π cm³
E) 72 √2 π cm³
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um copo de papel em forma de cone, que é feito enrolando um semicírculo com raio de 12 cm. O conteúdo desse exercício está na geometria, mais especificamente em cálculo de volume de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de circunferência, volume do cone e um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o semicírculo se transforma no cone. Quando a gente enrola o semicírculo, a borda curva (a parte arredondada) vira a base do cone. A medida dessa borda curva é igual à circunferência da base do cone.
Passo 3
A circunferência de um círculo completo é dada por
, onde
é o raio. Como temos um semicírculo, a circunferência da parte curva é metade disso:
. Aqui, o raio do semicírculo é 12 cm, então:
Passo 4
Essa circunferência do semicírculo é igual à circunferência da base do cone, que é dada por
, onde
é o raio da base do cone. Então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a altura
do cone. Sabemos que o raio do semicírculo, que é 12 cm, corresponde à geratriz
do cone (a distância da ponta do cone até a base). Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, raio da base e geratriz:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Com o raio da base
cm e a altura
cm, podemos calcular o volume
do cone usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A resposta correta é a opção A)
.