Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de 12 cm. O volume do copo é:
A) 72√ 3 π cm³
B) 36√3 π cm³
C) 72 π cm³
D) 36 π cm³
E) 72 √2 π cm³

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um copo de papel em forma de cone, que é feito enrolando um semicírculo com raio de 12 cm. O conteúdo desse exercício está na geometria, mais especificamente em cálculo de volume de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de circunferência, volume do cone e um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o semicírculo se transforma no cone. Quando a gente enrola o semicírculo, a borda curva (a parte arredondada) vira a base do cone. A medida dessa borda curva é igual à circunferência da base do cone.

Passo 3

A circunferência de um círculo completo é dada por 2pi r, onde r é o raio. Como temos um semicírculo, a circunferência da parte curva é metade disso: pi r. Aqui, o raio do semicírculo é 12 cm, então:
Circunferência do semicírculo = pi times 12 = 12pi cm êí

Passo 4

Essa circunferência do semicírculo é igual à circunferência da base do cone, que é dada por 2pi R, onde R é o raio da base do cone. Então:
2pi R = 12pi
Dividindo ambos os lados por 2pi:
R = 12pi2pi = 6 cm

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a altura h do cone. Sabemos que o raio do semicírculo, que é 12 cm, corresponde à geratriz l do cone (a distância da ponta do cone até a base). Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, raio da base e geratriz:
l^2 = R^2 + h^2
Substituindo os valores que temos:
12^2 = 6^2 + h^2 144 = 36 + h^2 h^2 = 144 - 36 h^2 = 108 h = raiz108 = 6raiz3 cm

Passo 6

Com o raio da base R = 6 cm e a altura h = 6raiz3 cm, podemos calcular o volume V do cone usando a fórmula:
V = 13pi R^2 h
Substituindo os valores:
V = 13 pi (6)^2 (6raiz3) V = 13 pi times 36 times 6raiz3 V = 13 times 216 pi raiz3 V = 72piraiz3 cm³ ³

Resposta

A resposta correta é a opção A) 72raiz3, pi cm³³.

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