Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser considerada f.d.p. Calcular E (X) e VAR (X).
a) f(x)=lK x^2 se 0 <= x <= 2 0 se x<0 ou x>2
b) f(x)=lK(2-x) se 0 <= x <= 1 0 se x<0 ou x>1
c) f(x)=lKe^-2 x para x >= 0 0 para x<0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício nos dá uma função e pede para verificar para quais valores de essa função pode ser considerada uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Além disso, precisamos calcular a esperança e a variância dessa distribuição. A matéria envolvida aqui inclui conceitos de probabilidade e cálculo de integrais. Vamos precisar entender que uma f.d.p. deve satisfazer duas condições principais: ser não negativa em todo o seu domínio e ter a integral total igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = K x^2 & se 0 <= x <= 2 0 & caso contrário é não negativa. Olhando para a função dada:
á
Como é sempre positivo ou zero, e será escolhido para que seja uma f.d.p., podemos garantir que para todo .

Passo 3

Agora, vamos garantir que a integral de integral-infty^infty f(x) , dx = integral0^2 K x^2 , dx = 1 de integral0^2 K x^2 , dx = K [ x^33 ]0^2 = K ( 83 - 0 ) = 8K3 a 8K3 = 1 Rightarrow K = 38 seja igual a 1. Como só é diferente de zero entre 0 e 2, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:
Igualando a 1:

Passo 4

Agora que encontramos E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx = integral0^2 x cdot 38 x^2 , dx = 38 integral0^2 x^3 , dx , vamos calcular a esperança 38 [ x^44 ]0^2 = 38 ( 164 - 0 ) = 38 cdot 4 = 32 . A fórmula para é:
Calculando a integral:
Então, .

Passo 5

Para calcular a variância E(X^2) = integral-infty^infty x^2 f(x) , dx = integral0^2 x^2 cdot 38 x^2 , dx = 38 integral0^2 x^4 , dx , precisamos primeiro encontrar 38 [ x^55 ]0^2 = 38 ( 325 - 0 ) = 38 cdot 325 = 9640 = 125 :
VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 125 - ( 32 )^2 = 125 - 94 = 4820 - 4520 = 320
Calculando a integral:
Agora, utilizando a fórmula da variância:

Resposta

Para a função dada, o valor de que a torna uma função de densidade de probabilidade é . A esperança é e a variância é .

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