Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de
podem ser considerada f.d.p. Calcular E (X) e VAR (X).
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício nos dá uma função
e pede para verificar para quais valores de
essa função pode ser considerada uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Além disso, precisamos calcular a esperança
e a variância
dessa distribuição. A matéria envolvida aqui inclui conceitos de probabilidade e cálculo de integrais. Vamos precisar entender que uma f.d.p. deve satisfazer duas condições principais: ser não negativa em todo o seu domínio e ter a integral total igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é não negativa. Olhando para a função dada:
Como
é sempre positivo ou zero, e
será escolhido para que
seja uma f.d.p., podemos garantir que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a integral de
de
a
seja igual a 1. Como
só é diferente de zero entre 0 e 2, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:
Igualando a 1:
Passo 4
Agora que encontramos
, vamos calcular a esperança
. A fórmula para
é:
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 5
Para calcular a variância
, precisamos primeiro encontrar
:
Calculando a integral:
Agora, utilizando a fórmula da variância:
Resposta
Para a função
dada, o valor de
que a torna uma função de densidade de probabilidade é
. A esperança
é
e a variância
é
.