Dado o seguinte sistema de equações lineares com determinante e Número de Condição :
Utilizando o método da Decomposição LU de Crout ou Doolittle, mostre como fica a Matriz L (triangular Inferior) a Matriz U (triangular superior), a solução y e a solução . Coloque os resultados na caixa de texto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Decomposição LU, mais especificamente o método de Doolittle. O que a gente vai fazer é quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Depois, a gente resolve duas equações simples pra encontrar as soluções. Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear e como funciona a decomposição LU.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
E o vetor dos termos independentes:
Passo 3
No método de Doolittle, a ideia é decompor a matriz em duas matrizes e , onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior. Ou seja:
Vamos assumir a seguinte estrutura para e :
Passo 4
Vamos começar determinando os elementos de .
Primeira linha de :
Primeira coluna de :
Passo 5
Agora, vamos encontrar os elementos restantes de e .
Segundo elemento de (segunda linha e segunda coluna):
Terceiro elemento de (segunda linha e terceira coluna):
Segundo elemento da terceira linha de :
Passo 6
Por último, vamos determinar o último elemento de :
Passo 7
Agora que temos todos os elementos de e , vamos escrever as matrizes completas: