Dado o seguinte sistema de equações lineares com determinante =-6 e Número de Condição =19.998 :
c 2 x1+x2+x3=3 -x1-x2-x3=-1 6 x1-2 x2+4 x3=14
Utilizando o método da Decomposição LU de Crout ou Doolittle, mostre como fica a Matriz L (triangular Inferior) a Matriz U (triangular superior), a solução y (L y=b) e a solução x (U x=y). Coloque os resultados na caixa de texto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Decomposição LU, mais especificamente o método de Doolittle. O que a gente vai fazer é quebrar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Depois, a gente resolve duas equações simples pra encontrar as soluções. Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear e como funciona a decomposição LU.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & -1 6 & -2 & 4
E o vetor dos termos independentes:
b = 3 -1 14

Passo 3

No método de Doolittle, a ideia é decompor a matriz A = L cdot U em duas matrizes L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e , onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior. Ou seja:
Vamos assumir a seguinte estrutura para e :

Passo 4

Vamos começar determinando os elementos de u11 = 2, u12 = 1, u13 = 1 .
  1. Primeira linha de l21 = -1u11 = -12 = -0.5 l31 = 6u11 = 62 = 3 :
  1. Primeira coluna de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os elementos restantes de u22 = -1 - (l21 cdot u12) = -1 - (-0.5 cdot 1) = -1 + 0.5 = -0.5 e u23 = -1 - (l21 cdot u13) = -1 - (-0.5 cdot 1) = -1 + 0.5 = -0.5 .
  1. Segundo elemento de l32 = -2 - (l31 cdot u12)u22 = -2 - (3 cdot 1)-0.5 = -5-0.5 = 10 (segunda linha e segunda coluna):
  1. Terceiro elemento de (segunda linha e terceira coluna):
  1. Segundo elemento da terceira linha de :

Passo 6

Por último, vamos determinar o último elemento de u33 = 4 - (l31 cdot u13) - (l32 cdot u23) = 4 - (3 cdot 1) - (10 cdot -0.5) = 4 - 3 + 5 = 6 :

Passo 7

Agora que temos todos os elementos de L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 3 & 10 & 1 , U = 2 & 1 & 1 0 & -0.5 & -0.5 0 & 0 & 6 e , vamos escrever as matrizes completas:

Passo 8

Com 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 3 & 10 & 1 cdot y1 y2 y3 = 3 -1 14 e y1 = 3 definidas, vamos resolver -0.5 cdot y1 + y2 = -1 -0.5 cdot 3 + y2 = -1 -1.5 + y2 = -1 y2 = 0.5 para encontrar 3 cdot y1 + 10 cdot y2 + y3 = 14 3 cdot 3 + 10 cdot 0.5 + y3 = 14 9 + 5 + y3 = 14 y3 = 0 .
Escrevendo a equação:

[
y = 3 0.5 0
\cdot


]
Resolvendo as equações:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Terceira equação:
Então,

Passo 9

Agora, temos que resolver 2 & 1 & 1 0 & -0.5 & -0.5 0 & 0 & 6 cdot x1 x2 x3 = 3 0.5 0 para encontrar 6 cdot x3 = 0 x3 = 0 .
Escrevendo a equação:

[
-0.5 cdot x2 -0.5 cdot x3 = 0.5 -0.5 cdot x2 = 0.5 x2 = -1
\cdot
2 cdot x1 + x2 + x3 = 3 2 cdot x1 -1 + 0 = 3 2 cdot x1 = 4 x1 = 2

x = 2 -1 0
]
Resolvendo as equações de baixo para cima:
  1. Terceira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Primeira equação:
Então,

Resposta

As matrizes L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 3 & 10 & 1 , U = 2 & 1 & 1 0 & -0.5 & -0.5 0 & 0 & 6 e y = 3 0.5 0 , x = 2 -1 0 , a solução e a solução são:

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