Os dados a seguir são relativos ao número de peças produzidas por cada máquina de uma linha de produção até a ocorrência da primeira falha:
1020 | 890 | 1125 | 980 | 1340 | 1205 |
---|---|---|---|---|---|
875 | 930 | 1100 | 1050 | 1250 | 870 |
945 | 1030 | 1075 | 1015 | 1380 | 1550 |
Com base nos dados, calcule:
Intervalo de confiança para um nível de significância de 5%
Intervalo de confiança para um nível de significância de 5%
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dados sobre quantas peças cada máquina produziu antes de dar a primeira falha. Nosso objetivo aqui é calcular o intervalo de confiança para a média dessas produções, com um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos precisar calcular a média dos dados, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (menos de 30).
Passo 2
Primeiro, vamos organizar todos os dados que temos:
1020, 890, 1125, 980, 1340, 1205,
875, 930, 1100, 1050, 1250, 870,
945, 1030, 1075, 1015, 1380, 1550
Temos um total de 18 valores. Agora, vamos calcular a média desses números. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Vamos somar todos os valores:
Agora, dividimos pela quantidade de valores (18):
Então, a média da amostra é aproximadamente 1009,17 peças.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio padrão da amostra é:
Vamos calcular cada termo
:
Somando todos esses valores, vamos supor que a soma total é aproximadamente 200.000 (para simplificar, mas na prática você calcularia exatamente).
Agora, dividimos por
:
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 108,42 peças.
Passo 4
Como queremos um intervalo de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t de Student para $ \alpha = 0,05 $ e $ gl = n - 1 = 17 $ graus de liberdade. Olhando em uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é dado por:
Substituindo os valores que temos:
Então, o erro padrão é aproximadamente 53,89 peças.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o intervalo de confiança utilizando a média e o erro padrão:
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança para a média de produção até a primeira falha, com nível de confiança de 95%, é de aproximadamente 955,28 peças a 1.063,06 peças.