A demanda por lâmpadas pode ser caracterizada por Q=100-p, onde cada unidade de Q mede um milhão de caixas de luzes vendidas e p é o preço por caixa. Existem dois produtores de luzes, Everglow e Dimlit, cujas funções de custo são idênticas C=10 qi+12 qi^2 e Q=q Everglow +q Dimlit .
Suponha que o gerente do Everglow adivinhe corretamente que Dimlit está jogando Cournot, então Everglow joga Stackelberg. Quais são os valores de equilíbrio de q Everglow ^*, q Dimlit ^* e p^*? Quais são os lucros de cada empresa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre competição entre duas empresas no mercado de lâmpadas, onde a demanda e os custos são definidos por certas fórmulas matemáticas. Vamos usar conceitos de Teoria dos Jogos, especificamente os modelos de Cournot e Stackelberg. Precisamos encontrar as quantidades produzidas por cada empresa, o preço de equilíbrio e os lucros de cada uma. Para isso, vamos precisar entender como as empresas tomam decisões estratégicas sobre quanto produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
A demanda no mercado é dada por:
Q = 100 - p
onde:
- $ Q $ é a quantidade total vendida (em milhões de caixas)
- $ p $ é o preço por caixa
Cada empresa tem uma função de custo:
Q
onde:
- $ q_i $ é a quantidade produzida pela empresa $ i $
Como há duas empresas, Everglow e Dimlit, a quantidade total no mercado será:
p

Passo 3

Como Everglow está jogando o papel de líder (Stackelberg) e sabe que Dimlit vai reagir de forma Cournot (isto é, escolher sua quantidade de produção considerando a produção de Everglow), vamos começar encontrando a função de reação de Dimlit.
A função de lucro de Dimlit é:
piDimlit = p cdot qDimlit - C
Substituindo $ p $ da demanda:
p
Como $ Q = q_{Everglow} + q_{Dimlit} $:
piDimlit = (100 - Q) cdot qDimlit - (10 qDimlit + 12 qDimlit^2)

Passo 4

Para maximizar o lucro de Dimlit, derivamos a função de lucro em relação a $ q_{Dimlit} $ e igualamos a zero:
qDimlit
Simplificando:
dpiDimlitdqDimlit = 100 - qEverglow - 2 qDimlit - 10 - qDimlit = 0
Daí, isolamos $ q_{Dimlit} $:
90 - qEverglow - 3 qDimlit = 0
Esta é a função de reação de Dimlit.

Passo 5

Agora, a Everglow, como líder, sabe que Dimlit vai responder conforme a função acima. Então, a Everglow vai escolher $ q_{Everglow} $ para maximizar seu próprio lucro, antecipando a reação de Dimlit.
A função de lucro da Everglow é:
qEverglow
Substituindo $ p $ e $ Q $:
piEverglow = p cdot qEverglow - C
Substituindo a função de reação de Dimlit:
p
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Q
Então:
piEverglow = (100 - qEverglow - qDimlit) cdot qEverglow - (10 qEverglow + 12 qEverglow^2)
piEverglow = (100 - qEverglow - 90 - qEverglow3) cdot qEverglow - 10 qEverglow - 12 qEverglow^2
100 - qEverglow - 30 + qEverglow3 = 70 - 23 qEverglow

Passo 6

Agora, para encontrar a quantidade que a Everglow vai produzir para maximizar seu lucro, derivamos a função de lucro em relação a $ q_{Everglow} $ e igualamos a zero:
qEverglow
Simplificando:
dpiEverglowdqEverglow = 60 - 146 qEverglow = 0
Isolando $ q_{Everglow} $:
60 - 73 qEverglow = 0
qEverglow
73 qEverglow = 60 õ

Passo 7

Agora que temos $ q_{Everglow}^* $, podemos encontrar $ q_{Dimlit}^* $ usando a função de reação de Dimlit:
qEverglow^*
Substituindo $ q_{Everglow} = \frac{180}{7} $:
qDimlit^* õ

Passo 8

Com as quantidades $ q_{Everglow}^* $ e $ q_{Dimlit}^* $, podemos encontrar o preço de equilíbrio usando a demanda:
qEverglow^*

Passo 9

Finalmente, vamos calcular os lucros de cada empresa usando as fórmulas de lucro:
Para Everglow:
piEverglow = p cdot qEverglow - (10 qEverglow + 12 qEverglow^2)
Substituindo os valores:
piEverglow = 52,86 times 1807 - (10 times 1807 + 12 times (1807)^2)
piEverglow approx 52,86 times 25,71 - (10 times 25,71 + 12 times 734,69)
piEverglow approx 1358,57 - (257,14 + 367,35)
piEverglow approx 1358,57 - 624,49
piEverglow approx 734,08 milhões de reais õ
Para Dimlit:
piDimlit = p cdot qDimlit - (10 qDimlit + 12 qDimlit^2)
Substituindo os valores:
piDimlit = 52,86 times 1507 - (10 times 1507 + 12 times (1507)^2)
piDimlit approx 52,86 times 21,43 - (10 times 21,43 + 12 times 459,18)
piDimlit approx 1133,14 - (214,3 + 229,59)
piDimlit approx 1133,14 - 443,89
piDimlit approx 689,25 milhões de reais õ

Resposta

No equilíbrio de Stackelberg, as quantidades produzidas e o preço são aproximadamente:
  • $ q_{Everglow}^{*} \approx 25,71 $ milhões de caixas
  • $ q_{Dimlit}^{*} \approx 21,43 $ milhões de caixas
  • $ p^{*} \approx 52,86 $ reais por caixa
Os lucros são:
  • Lucro da Everglow: aproximadamente 734,08 milhões de reais
  • Lucro da Dimlit: aproximadamente 689,25 milhões de reais

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