Desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana de temperatura T1 em x=0 e T2 em x=L. Admita que as propriedades termofisicas são constantes, e que não haja geração de energia interna e que o fluxo de calor ocorre na direção de x (regime permanente e fluxo unidimensional). Considere T1>T2 e Lé a espessura da placa plana. Considere: T1= número de letras do seu nome completo ( ^circ C ), T2= número de letra do seu primeiro nome ( ^circ C) e L= a sua idade (mm)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana onde a temperatura varia de um lado para o outro. Vamos usar conceitos de transferência de calor por condução no regime permanente e fluxo unidimensional. Para resolver, vamos precisar aplicar a Lei de Fourier para condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier, que descreve como o calor flui através de um material. Ela é dada por:
q = -k dTdx
Aqui,
  • é o fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de área e tempo),
  • é a condutividade térmica do material,
  • é o gradiente de temperatura na direção .
Como estamos considerando propriedades termofísicas constantes e fluxo unidimensional no regime permanente, a taxa de transferência de calor é constante através da placa.

Passo 3

A partir da Lei de Fourier, como o fluxo de calor integral dT = -qk integral dx é constante, podemos integrar a equação para encontrar a distribuição de temperatura T(x) = -qkx + C .
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para determinar a constante T1 = -qk(0) + C C = T1 . As condições dadas são:
  • T(x) = -qkx + T1 na posição
  • na posição
Primeiro, aplicamos :
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno T2 = -qkL + T1 :
-qkL = T2 - T1 q = k(T1 - T2)L
Vamos isolar :

Passo 6

Com o valor de T(x) = -k(T1 - T2)Lkx + T1 T(x) = -T1 - T2Lx + T1 T(x) = T1 - (T1 - T2)xL , podemos substituir de volta na equação de :

Passo 7

Simplificando a equação, temos:
T(x) = T1 - T1 - T2Lx
Isso mostra que a temperatura varia linearmente de em até em .

Resposta

A distribuição de temperatura na placa é dada por:
T(x) = T1 - T1 - T2Lx

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