Detalhar o algoritmo de remoção de nós em árvores AVL.

Passo 1

Então, você quer entender como funciona a remoção de nós em árvores AVL, certo? As árvores AVL são um tipo de árvore binária de busca que se mantém balanceada para garantir operações rápidas. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma árvore AVL, como removemos um nó de uma árvore binária de busca e como mantemos o balanceamento usando rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma árvore AVL. É uma árvore binária de busca onde, para cada nó, a diferença de altura entre a subárvore esquerda e a subárvore direita (chamada de fator de balanceamento) é no máximo 1. Isso garante que a árvore esteja sempre balanceada, facilitando buscas, inserções e remoções eficientes.

Passo 3

Quando queremos remover um nó de uma árvore AVL, o processo começa como em qualquer árvore binária de busca: encontramos o nó, removemos ele e ajustamos a árvore. Mas depois dessa remoção, a árvore pode ficar desbalanceada, então precisamos verificar e corrigir isso para manter as propriedades da AVL.

Passo 4

A remoção de um nó pode ter três casos principais:
  1. Nó sem filhos (folha): Basta remover o nó.
  2. Nó com um filho: Remove-se o nó e liga-se seu único filho ao pai.
  3. Nó com dois filhos: Encontra-se o sucessor ou predecessor, copia seu valor para o nó a ser removido e então remove o sucessor/predecessor, que agora se encaixa nos dois primeiros casos.

Passo 5

Após a remoção, precisamos verificar o fator de balanceamento de cada nó afetado. O fator de balanceamento é calculado como:
áá
Se o fator ficar além de -1, 0 ou 1, a árvore está desbalanceada e precisamos corrigir isso.

Passo 6

Para reequilibrar, usamos rotações. Existem quatro tipos principais de rotações:
  1. Rotação Simples à Direita (RR): Usada quando a subárvore esquerda da subárvore esquerda está mais alta.
  2. Rotação Simples à Esquerda (LL): Usada quando a subárvore direita da subárvore direita está mais alta.
  3. Rotação Dupla à Direita (RL): Usada quando a subárvore direita da subárvore esquerda está mais alta.
  4. Rotação Dupla à Esquerda (LR): Usada quando a subárvore esquerda da subárvore direita está mais alta.
Essas rotações ajustam a estrutura da árvore para que ela volte a estar balanceada.

Passo 7

Depois de aplicar as rotações necessárias, atualizamos as alturas dos nós afetados e continuamos verificando e corrigindo a partir do nó removido até a raiz da árvore. Isso garante que toda a árvore mantenha seu balanceamento AVL.

Resposta

Para detalhar o algoritmo de remoção de nós em árvores AVL, siga estes passos:
  1. Encontrar o nó a ser removido: Navegue na árvore como em uma árvore binária de busca comum para localizar o nó.
  2. Remover o nó:
    • Se o nó for uma folha, simplesmente remova-o.
    • Se tiver um filho, substitua o nó pelo seu filho.
    • Se tiver dois filhos, encontre o sucessor (menor nó na subárvore direita) ou o predecessor (maior nó na subárvore esquerda), copie seu valor para o nó a ser removido e remova o sucessor/predecessor.
  3. Atualizar as alturas: Após a remoção, atualize a altura de cada nó afetado.
  4. Calcular o fator de balanceamento: Para cada nó do caminho desde o nó removido até a raiz, calcule o fator de balanceamento.
  5. Aplicar rotações se necessário:
    • Se o fator de balanceamento for >1 ou <-1, identifique o tipo de rotação (RR, LL, RL, LR) necessária com base no balanceamento das subárvores.
    • Execute a rotação apropriada para reequilibrar a árvore.
  6. Continuar até a raiz: Repita o processo de verificação e rotação até alcançar a raiz da árvore.
  7. Finalizar: A árvore AVL estará balanceada novamente após todas as rotações necessárias.
Esse processo garante que, após a remoção de um nó, a árvore AVL mantenha suas propriedades de balanceamento, garantindo operações eficientes.

Exercícios relacionados

Qual o melhor e o pior caso de altura de uma árvore binária de busca e uma árvore AVL para um mesmo número de elementos?
  • Faça um programa que dados um inteiro e um inteiro (representando um dígito, ou seja, ), devolve quantas vezes o dígito aparece em .
Prove ou dê um contraexemplo para as afirmações abaixo:
(a) Toda árvore cheia é completa.
Prove ou dê um contraexemplo para as afirmações abaixo:
© Toda árvore estritamente binária é AVL.