Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e . O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um modelo matemático que relaciona a grandeza com as variáveis e : . O objetivo é encontrar os valores de , e que melhor se ajustam aos dados experimentais que você forneceu, usando o método dos mínimos quadrados. Depois disso, vamos usar esse modelo para prever o valor de quando e . Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações baseado nos dados da tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o método dos mínimos quadrados. Basicamente, a gente quer encontrar os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de e os valores previstos pelo nosso modelo. Para fazer isso, vamos montar um sistema de equações chamado “equações normais”.
Passo 3
Vamos listar os dados que temos:
Para cada linha, vamos calcular , , , , , , e . Isso vai nos ajudar a montar as equações normais.
Passo 4
Vamos calcular as somas necessárias:
Passo 5
Agora, vamos montar as equações normais usando essas somas:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar a, b e c.
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Primeira Equação:28a - 3b + 7c = 154.2
Segunda Equação:196a - 48b + 28c = 958.7
Terceira Equação:-48a + 91b - 3c = -61.2
Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo por 4:
49a - 12b + 7c = 239.675
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equaç��o: