Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^2+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
r|r|r $x$ & $y$ & $Z$ hline-3 & -4 & 38.6 -2 & -5 & 13.5 -1 & 5 & 17.1 0 & 2 & 7.6 1 & 1 & 10.8 2 & -4 & 14.0 3 & 2 & 52.6 a, b c
-3 -4 38.6
-2 -5 13.5
-1 5 17.1
0 2 7.6
1 1 10.8
2 -4 14.0
3 2 52.6
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros Z e (x, y)=(9,6) de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo model ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 409.8
(B) 410.8
© 411.8
(D) 412.8
(E) 413.8
(F) 414.8
(G) 415.8
(H) 416.8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um modelo matemático que relaciona a grandeza Z com as variáveis x e y: Z = a x^2 + b y + c. O objetivo é encontrar os valores de a, b e c que melhor se ajustam aos dados experimentais que você forneceu, usando o método dos mínimos quadrados. Depois disso, vamos usar esse modelo para prever o valor de Z quando x = 9 e y = 6. Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações baseado nos dados da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o método dos mínimos quadrados. Basicamente, a gente quer encontrar os valores de a, b e c que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de Z e os valores previstos pelo nosso modelo. Para fazer isso, vamos montar um sistema de equações chamado “equações normais”.

Passo 3

Vamos listar os dados que temos:
ccc x & y & Z hline -3 & -4 & 38.6 -2 & -5 & 13.5 -1 & 5 & 17.1 0 & 2 & 7.6 1 & 1 & 10.8 2 & -4 & 14.0 3 & 2 & 52.6
Para cada linha, vamos calcular x^2, y, Z, x^2Z, x^4, x^2y, yz e y^2. Isso vai nos ajudar a montar as equações normais.

Passo 4

Vamos calcular as somas necessárias:
sum Z &= 38.6 + 13.5 + 17.1 + 7.6 + 10.8 + 14.0 + 52.6 = 154.2 sum x^2 &= (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 28 sum y &= -4 + (-5) + 5 + 2 + 1 + (-4) + 2 = -3 sum x^2Z &= (-3)^2 times 38.6 + dots + 3^2 times 52.6 = 958.7 sum x^4 &= (-3)^4 + dots + 3^4 = 196 sum x^2y &= (-3)^2 times (-4) + dots + 3^2 times 2 = -48 sum yz &= (-4) times 38.6 + dots + 2 times 52.6 = -61.2 sum y^2 &= (-4)^2 + dots + 2^2 = 91

Passo 5

Agora, vamos montar as equações normais usando essas somas:
28a - 3b + 7c = 154.2 196a - 48b + 28c = 958.7 -48a + 91b - 3c = -61.2
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar a, b e c.

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Primeira Equação: 28a - 3b + 7c = 154.2
  2. Segunda Equação: 196a - 48b + 28c = 958.7
  3. Terceira Equação: -48a + 91b - 3c = -61.2
Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo por 4:
49a - 12b + 7c = 239.675
Agora, subtraímos a primeira equação dessa nova equaç��o:
(49a - 12b + 7c) - (28a - 3b + 7c) = 239.675 - 154.2 21a - 9b = 85.475
Dividindo por 3:
7a - 3b = 28.4916667 (Equação 4) çã
Agora, usando a terceira equação e a Equação 4, resolvemos para a e b:
-48a + 91b - 3c = -61.2
Substituindo c da primeira equação:
c = 154.2 - 28a + 3b7 approx 17.958
Substituindo c e resolvendo as equações, encontramos:
a approx 4.94 b approx 2.04 c approx 3.13

Passo 7

Com os valores de a, b e c encontrados, vamos calcular o valor previsto de Z para (x, y) = (9, 6):
Z = a x^2 + b y + c = 4.94 times 81 + 2.04 times 6 + 3.13 approx 415.5
Comparando com as opções fornecidas, a mais próxima de 415.5 é:

Resposta

(G) 415.8

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