Determine: as deformações principais no plano das deformações e suas direções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar as deformações principais no plano das deformações e suas direções. Isso está ligado à mecânica dos materiais, especificamente ao estudo das deformações em um objeto quando ele sofre forças. Para resolver isso, vamos precisar entender a tensor de deformação, encontrar seus valores próprios (que são as deformações principais) e as direções principais associadas a esses valores.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar o tensor de deformação no plano das deformações. Suponha que temos um sistema de coordenadas varepsilonxx, varepsilonyy, e varepsilonxy e varepsilon = varepsilonxx & varepsilonxy varepsilonxy & varepsilonyy , e as componentes das deformações são:
Assim, o tensor de deformação fica:

Passo 3

As deformações principais são os valores próprios desse tensor. Para encontrá-los, precisamos resolver a equação característica:
det(varepsilon - lambda I) = 0
Onde representa os valores próprios (deformações principais) e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:
det( varepsilonxx - lambda & varepsilonxy varepsilonxy & varepsilonyy - lambda ) = 0
O determinante é:
(varepsilonxx - lambda)(varepsilonyy - lambda) - varepsilonxy^2 = 0

Passo 5

Desenvolvendo a equação:
lambda^2 - (varepsilonxx + varepsilonyy)lambda + (varepsilonxxvarepsilonyy - varepsilonxy^2) = 0
Essa é uma equação quadrática em lambda = (varepsilonxx + varepsilonyy) pm raiz (varepsilonxx + varepsilonyy)^2 - 4(varepsilonxxvarepsilonyy - varepsilonxy^2) 2 . Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Calculando as raízes da equação, obtemos as duas deformações principais:
varepsilon1 = (varepsilonxx + varepsilonyy) 2 + raiz (varepsilonxx - varepsilonyy)^2 + 4varepsilonxy^2 2
varepsilon2 = (varepsilonxx + varepsilonyy) 2 - raiz (varepsilonxx - varepsilonyy)^2 + 4varepsilonxy^2 2

Passo 7

Agora, para encontrar as direções principais, vamos calcular os ângulos tan(2theta) = 2varepsilonxyvarepsilonxx - varepsilonyy que definem as direções nas quais essas deformações ocorrem. A fórmula para o ângulo é:
theta = 12 arctan( 2varepsilonxyvarepsilonxx - varepsilonyy )
Resolvendo para :
Isso nos dá o ângulo em relação ao eixo onde ocorre a deformação principal . A direção da segunda deformação principal será perpendicular a .

Resposta

As deformações principais no plano das deformações são dadas por
varepsilon1 = (varepsilonxx + varepsilonyy) 2 + raiz (varepsilonxx - varepsilonyy)^2 + 4varepsilonxy^2 2
e
varepsilon2 = (varepsilonxx + varepsilonyy) 2 - raiz (varepsilonxx - varepsilonyy)^2 + 4varepsilonxy^2 2
As direções das deformações principais est��o orientadas nos ângulos
theta = 12 arctan( 2varepsilonxyvarepsilonxx - varepsilonyy )
e perpendicular a .

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