Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. Sn = n sen(2/n).

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos uma sequência definida por . O objetivo é determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos descobrir para qual valor ela converge. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de conforme cresce. À medida que tende ao infinito, se aproxima de 0.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , o seno pode ser aproximado por . Essa é uma aproximação útil quando tende a 0.

Passo 4

Aplicando essa aproximação na nossa sequência, temos:
Portanto:

Passo 5

Assim, conforme aumenta, se aproxima de 2. Isso indica que a sequência é convergente e converge para 2.

Resposta

A sequência é convergente e converge para 2.

Exercícios relacionados

Use, se possível, o Teste da Comparação no Limite para decidir se as séries convergem ou divergem: .
<html><head></head><body><div>Determine se cada equação dada abaixo é exata. Se a equação é exata, resolva. Se a equação não é exata, encontre um fator de integraçõ tal que multiplicando a equação dada pelo fator de integraçõ, a torne exata e resolva.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“34.428ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 15217.3 1199”><title>(3 x^2 - 2 x y + 2) + (6 y^2 - x^2 + 3) y’</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“28” d=“M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(458,0)”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 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</body></html>
Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Determine e para a função onde, e . Espaço destinado à resposta