Dois planos condutores infinitos são paralelos e estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga total e . Utilizando o princípio da superposição, determine o campo elétrico total produzido pelos dois planos em todo o espaço. Analise cuidadosamente cada região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois planos condutores infinitos que estão paralelos e têm cargas distribuídas uniformemente: um plano com densidade superficial de carga e o outro com . O objetivo é encontrar o campo elétrico total gerado por esses dois planos em todo o espaço usando o princípio da superposição. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por um plano carregado e depois somar os campos dos dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um único plano infinito carregado. Para um plano com densidade superficial de carga , o campo elétrico ( ) é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, uma constante que vale aproximadamente .
Esse campo elétrico é perpendicular ao plano e tem direção para fora do plano se a carga for positiva e para dentro se for negativa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos dois planos do nosso problema. O primeiro plano tem densidade de carga , então o campo elétrico que ele gera ( ) será:
Esse campo aponta para fora do plano, já que a carga é positiva.
O segundo plano tem densidade de carga , então o campo elétrico que ele gera ( ) será:
Como a carga é negativa, o campo aponta para dentro do plano.

Passo 4

Agora, vamos usar o princípio da superposição, que nos permite somar os campos elétricos de cada fonte para encontrar o campo total. Precisamos considerar todas as possíveis regiões no espaço:
  1. Região acima de ambos os planos:
    • O campo do primeiro plano ( ) aponta para cima.
    • O campo do segundo plano ( ) também aponta para cima.
    • Portanto, o campo total ( ) será a soma desses campos:
  2. Região entre os dois planos:
    • O campo do primeiro plano ( ) aponta para baixo (pois estamos na região entre os planos).
    • O campo do segundo plano ( ) também aponta para baixo.
    • Portanto:
  3. Região abaixo de ambos os planos:
    • O campo do primeiro plano ( ) aponta para baixo.
    • O campo do segundo plano ( ) aponta para cima.
    • Portanto:

Resposta

O campo elétrico total produzido pelos dois planos é em todas as regiões do espaço.

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