Dois recipientes cilíndricos iguais, com as bases no mesmo nível, contêm um líquido de massa específica 1,30×10³ kg/m³. A área de cada base é 4,00 cm², mas em um dos recipientes a altura do líquido é 0,854 m e no outro é 1,560 m. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis quando os recipientes são ligados por um tubo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois recipientes cilíndricos iguais, com bases no mesmo nível, que contêm um líquido com massa específica de 1,30 times 10^3 , kg/m^3. A área da base de cada recipiente é de 4,00 , cm^2. Em um dos recipientes, a altura do líquido é de 0,854 , m e no outro é de 1,560 , m. Queremos descobrir o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis de líquido quando os recipientes são conectados por um tubo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial gravitacional e como calcular o trabalho realizado pela gravidade quando o líquido se redistribui para equilibrar os níveis. Vamos também usar fórmulas de geometria para áreas e volumes de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a área da base dos recipientes para unidades do Sistema Internacional (SI). Sabemos que 1 , cm^2 = 1 times 10^-4 , m^2. Então:
A = 4,00 , cm^2 = 4,00 times 10^-4 , m^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a altura final (hf) quando os níveis de líquido nos dois recipientes se igualarem. Como os recipientes são iguais e conectados, o volume total de líquido se distribuirá igualmente.
O volume total inicial é a soma dos volumes nos dois recipientes:
Vtotal = A times h1 + A times h2 = A (h1 + h2)
A altura final será:
hf = h1 + h22
Substituindo os valores:
hf = 0,854 , m + 1,560 , m2 = 2,414 , m2 = 1,207 , m

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional inicial (Uinicial) nos dois recipientes. A energia potencial de um líquido em um recipiente cilíndrico é dada por:
U = 12 rho g A h^2
Onde:
  • rho é a massa específica do líquido ( 1,30 times 10^3 , kg/m^3)
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2)
  • A é a área da base
  • h é a altura do líquido
Para os dois recipientes:
Uinicial = 12 rho g A h1^2 + 12 rho g A h2^2
Substituindo os valores:
Uinicial = 12 times 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (0,854)^2 + 12 times 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (1,560)^2

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a energia potencial gravitacional final (Ufinal) após os níveis se igualarem:
Ufinal = 12 rho g A hf^2 + 12 rho g A hf^2 = rho g A hf^2
Substituindo os valores:
Ufinal = 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (1,207)^2

Passo 6

O trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis é a diferença entre a energia potencial inicial e a energia potencial final:
W = Uinicial - Ufinal
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro, Uinicial:
Uinicial = 12 times 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (0,854)^2 + 12 times 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (1,560)^2
Calculando cada parte:
U1 = 12 times 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (0,854)^2 approx 1,942 , J
U2 = 12 times 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (1,560)^2 approx 3,988 , J
Uinicial = U1 + U2 approx 1,942 + 3,988 = 5,930 , J
Agora, Ufinal:
Ufinal = 1,30 times 10^3 times 9,81 times 4,00 times 10^-4 times (1,207)^2 approx 7,350 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis de líquido nos dois recipientes é aproximadamente $ -1,420 , J $. O sinal negativo indica que a energia potencial diminuiu, correspondendo ao trabalho realizado pela gravidade.

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