Dois recipientes cilíndricos iguais, com as bases no mesmo nível, contêm um líquido de massa específica 1,30×10³ kg/m³. A área de cada base é 4,00 cm², mas em um dos recipientes a altura do líquido é 0,854 m e no outro é 1,560 m. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis quando os recipientes são ligados por um tubo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois recipientes cilíndricos iguais, com bases no mesmo nível, que contêm um líquido com massa específica de
. A área da base de cada recipiente é de
. Em um dos recipientes, a altura do líquido é de
e no outro é de
. Queremos descobrir o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis de líquido quando os recipientes são conectados por um tubo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial gravitacional e como calcular o trabalho realizado pela gravidade quando o líquido se redistribui para equilibrar os níveis. Vamos também usar fórmulas de geometria para áreas e volumes de cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a área da base dos recipientes para unidades do Sistema Internacional (SI). Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a altura final
quando os níveis de líquido nos dois recipientes se igualarem. Como os recipientes são iguais e conectados, o volume total de líquido se distribuirá igualmente.
O volume total inicial é a soma dos volumes nos dois recipientes:
A altura final será:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional inicial
nos dois recipientes. A energia potencial de um líquido em um recipiente cilíndrico é dada por:
Onde:
-
é a massa específica do líquido ( ) -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a área da base -
é a altura do líquido
Para os dois recipientes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a energia potencial gravitacional final
após os níveis se igualarem:
Substituindo os valores:
Passo 6
O trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis é a diferença entre a energia potencial inicial e a energia potencial final:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro,
:
Calculando cada parte:
Agora,
:
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis de líquido nos dois recipientes é aproximadamente $ -1,420 , J $. O sinal negativo indica que a energia potencial diminuiu, correspondendo ao trabalho realizado pela gravidade.