Duas bobinas conectadas de forma série aditiva possuem uma indutância total de 250 mH . Quando conectadas em de forma série subtrativa, as bobinas possuem uma indutância total de 150 mH . Se a indutância de uma bobina (L1) é três vezes a da outra, determine L1, L2 e M. Qual o valor do coeficiente de acoplamento?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisa ser resolvido aqui. Temos duas bobinas (indutores) que, quando conectadas em série de duas maneiras diferentes — aditiva e subtrativa — apresentam indutâncias totais de 250 mH e 150 mH, respectivamente. Sabemos também que a indutância de uma das bobinas (L₁) é três vezes a da outra (L₂). Vamos usar conceitos de indutância em série e acoplamento magnético para encontrar os valores de L₁, L₂ e a mutual indução M, além de determinar o coeficiente de acoplamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a indutância total funciona quando duas bobinas são conectadas em série. Quando a conexão é série aditiva, as indutâncias se somam, considerando também o acoplamento magnético entre elas. A fórmula geral para duas bobinas em série aditivo é:
Ls+a = L1 + L2 + 2M
Já na conexão série subtrativa, as indutâncias se subtraem:
Ls-s = L1 + L2 - 2M
Aqui, é a indutância total na conexão série aditiva, e na série subtrativa.

Passo 3

Sabemos que mH e mH. Além disso, foi dado que . Vamos usar essas informações para montar duas equações:
  1. mH
  2. mH
Simplificando as equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos somar as duas equações para eliminar M:
(4L2 + 2M) + (4L2 - 2M) = 250 + 150
8L2 = 400
L2 = 50 mH
Agora que temos L1 = 3L2 = 3 times 50 = 150 mH , podemos encontrar :

Passo 5

Com 4L2 + 2M = 250 mH e 4 times 50 + 2M = 250 mH, podemos substituir na primeira equação para encontrar M:
200 + 2M = 250
2M = 50
M = 25 mH

Passo 6

Por fim, vamos determinar o coeficiente de acoplamento k = MraizL1 L2 . A fórmula para k = 25raiz150 times 50 é:
k = 25raiz7500
Substituindo os valores encontrados:
k = 2586.60
k approx 0,289

Resposta

As indutâncias são mH e mH, a mutual indução é mH e o coeficiente de acoplamento é aproximadamente 0,289.

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