Durante uma aula de matemática, o professor Carlos introduziu o tópico de operações com intervalos. Ele enfatizou a importância das operações de união e interseção e como elas afetam a representação dos intervalos resultantes. Considerando o texto, analise as afirmativas abaixo:
I. A operação de união de dois intervalos sempre resulta em um único intervalo contínuo.
II. A interseção de dois intervalos pode resultar em um intervalo vazio.
III. Na operação de união, um intervalo aberto e um intervalo fechado resultam sempre em um intervalo fechado.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três afirmações sobre operações com intervalos, especificamente união e interseção. Nosso objetivo é analisar cada uma delas para verificar se estão corretas ou não. Para isso, vamos precisar saber o que significam união e interseção de intervalos e como elas funcionam.

Passo 2

Vamos ver a Afirmação I: “A operação de união de dois intervalos sempre resulta em um único intervalo contínuo.”
Teoria aplicada: A união de dois intervalos inclui todos os números que estão em pelo menos um dos intervalos. Se os intervalos se sobrepõem ou são adjacentes (isto é, tocam em algum ponto), a união forma um único intervalo contínuo. Porém, se os intervalos são separados, a união resultará em dois intervalos distintos.
Exemplo:
  • União de [1, 3] e [2, 4] é [1, 4] – um único intervalo contínuo.
  • União de [1, 2] e [3, 4] é [1, 2] ∪ [3, 4] – dois intervalos separados.
Conclusão: A Afirmação I nem sempre é verdadeira, pois depende da posição dos intervalos.

Passo 3

Agora, a Afirmação II: “A interseção de dois intervalos pode resultar em um intervalo vazio.”
Teoria aplicada: A interseção de dois intervalos inclui todos os números que estão em ambos os intervalos. Se os intervalos não se sobrepõem de maneira alguma, a interseção será vazia.
Exemplo:
  • Interseção de [1, 2] e [3, 4] é vazia porque não há números comuns.
  • Interseção de [1, 3] e [2, 4] é [2, 3] – não vazia.
Conclusão: A Afirmação II é verdadeira, já que a interseção pode sim ser vazia quando os intervalos não se sobrepõem.

Passo 4

Por fim, a Afirmação III: “Na operação de união, um intervalo aberto e um intervalo fechado resultam sempre em um intervalo fechado.”
Teoria aplicada: A união de um intervalo aberto (que não inclui seus pontos finais) e um intervalo fechado (que inclui seus pontos finais) depende de como eles se relacionam. Se eles se tocam ou se sobrepõem, a união pode incluir os pontos finais e, assim, ser fechada nesses pontos. No entanto, isso não garante que todo o intervalo resultante seja fechado.
Exemplo:
  • União de (1, 3) e [3, 5] é (1, 5] – aqui, o ponto 1 não está incluído (aberto) e o ponto 5 está incluído (fechado).
Conclusão: A Afirmação III não é sempre verdadeira, pois a união pode resultar em intervalos que são parcialmente abertos e fechados.

Resposta

Dentre as afirmativas apresentadas:
  • I está incorreta.
  • II está correta.
  • III está incorreta.

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