Um elemento de aquecimento elétrico é encaixado em um cilindro de carbono amorfo ( ), com diâmetro interno de 1 cm e externo de 2 cm . O lado externo do cilindro de carbono está em contato com ar a e o coeficiente convectivo nesta face é . Determine o aquecimento elétrico máximo (potência linear em ) que pode ser aplicado se a temperatura máxima permissível do carbono é de . A resistência térmica do elemento de aquecimento pode ser desprezada. ( )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um elemento de aquecimento elétrico colocado dentro de um cilindro de carbono amorfo. A gente sabe a condutividade térmica do carbono, os diâmetros interno e externo do cilindro, a temperatura do ar ao redor e o coeficiente convectivo. A pergunta é: qual é a potência máxima que podemos aplicar no aquecedor para que a temperatura do carbono não passe de 200°C. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o calor gerado pelo aquecedor vai se propagar através do carbono por condução e depois ser dissipado para o ar por convecção. A resistência térmica total do sistema vai ser a soma da resistência por condução no carbono e da resistência por convecção no ar.

Passo 3

Vamos calcular a resistência térmica por condução no cilindro de carbono. A fórmula para resistência térmica por condução é:
Onde:
  • é o raio interno (0,5 cm ou 0,005 m)
  • é o raio externo (1 cm ou 0,01 m)
  • é a condutividade térmica (1,6 W/mK)
  • é o comprimento, mas como estamos buscando potência linear (por metro), vamos considerar m
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a resistência térmica por convecção. A fórmula é:
Onde:
  • é o coeficiente convectivo (40 W/m²K)
  • é a área de superfície externa do cilindro
A área de superfície externa de um cilindro é dada por:
Considerando m e m:
²
Agora, substituindo na fórmula de resistência por convecção:

Passo 5

A resistência térmica total ( ) é a soma das resistências por condução e convecção:

Passo 6

Sabemos que a diferença de temperatura máxima permitida é:
Usando a relação entre potência, diferença de temperatura e resistência térmica:
Substituindo os valores:

Resposta

A potência elétrica máxima que pode ser aplicada é de aproximadamente 385,6 W/m.

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