Enumere as funções abaixo da menor para a maior ordem de crescimento. Caso duas ou mais tenham a mesma ordem, indique-as.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma lista de funções matemáticas e precisa organizá-las da menor para a maior ordem de crescimento. Isso significa que vamos ver quais funções crescem mais rápido conforme $ n $ aumenta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise assintótica e ordem de crescimento. Vamos precisar comparar cada função e entender como elas se comportam quando $ n $ fica muito grande.
Passo 2
Vamos listar todas as funções que temos:
- $ n $
- $ 2^{n} $
- $ n \lg n $ (onde $ \lg n $ é logaritmo na base 2)
- $ n - n^{3} + 7n^{5} $
- $ \lg n $
- $ \sqrt{n} $
- $ n^{2} + \lg n $
- $ n^{2} $
- $ 2^{n-1} $
- $ n^{3} $
- $ (\lg n)^{2} $
- $ n! $
Passo 3
Vamos começar identificando a ordem de crescimento de cada função:
-
Logarítmicas:
- $ \lg n $
- $ (\lg n)^{2} $
-
Polinomiais:
- $ \sqrt{n} = n^{0.5} $
- $ n $
- $ n \lg n $
- $ n^{2} $
- $ n^{2} + \lg n $
- $ n^{3} $
- $ n - n^{3} + 7n^{5} $ (a função de maior grau domina, então $ 7n^{5} $)
-
Exponenciais:
- $ 2^{n} $
- $ 2^{n-1} $ (igual a $ 2^{n} / 2 $, que é da mesma ordem que $ 2^{n} $)
-
Fatorial:
- $ n! $
Passo 4
Agora, vamos organizar essas funções do menor para o maior crescimento:
-
Menor crescimento:
- $ \lg n $ (logarítmica)
- $ (\lg n)^{2} $ (logarítmica quadrática)
- $ \sqrt{n} $ (raiz quadrada, que é $ n^{0.5} $)
-
Crescimento linear e superlinear:
4. $ n $ (linear)
5. $ n \lg n $ (linear com logaritmo) -
Crescimento quadrático:
6. $ n^{2} $ e $ n^{2} + \lg n $ (ambas são da ordem $ n^{2} $, já que $ \lg n $ é insignificante em comparação) -
Crescimento cúbico e maior:
7. $ n^{3} $
8. $ n - n^{3} + 7n^{5} $ (dominado por $ 7n^{5} $, que é $ n^{5} $) -
Crescimento exponencial:
9. $ 2^{n} $ e $ 2^{n-1} $ (ambas são da ordem $ 2^{n} $) -
Maior crescimento:
10. $ n! $ (fatorial, cresce mais rápido que exponenciais)
Resposta
Organizando as funções da menor para a maior ordem de crescimento:
- $ \lg n $
- $ (\lg n)^{2} $
- $ \sqrt{n} $
- $ n $
- $ n \lg n $
- $ n^{2} $ e $ n^{2} + \lg n $
- $ n^{3} $
- $ n - n^{3} + 7n^{5} $
- $ 2^{n} $ e $ 2^{n-1} $
- $ n! $