Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente escrever as equações de Navier-Stokes e explicar cada termo, além de mencionar as hipóteses usadas. Vamos trabalhar com a Mecânica dos Fluidos, que estuda o movimento dos fluidos e as forças que atuam sobre eles. Para isso, vamos precisar entender conceitos como velocidade, pressão, viscosidade e forças externas que influenciam o fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos apresentar a Equação de Navier-Stokes na sua forma mais geral para um fluido incompressível e viscoso:
Passo 3
Agora, vamos detalhar cada termo dessa equação:
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: É a densidade do fluido, ou seja, a massa por unidade de volume. -
: Representa a variação temporal da velocidade do fluido. Mostra como a velocidade muda com o tempo em um ponto fixo. -
: É o termo da advecção, que descreve como a velocidade é transportada pelo próprio fluxo do fluido. Basicamente, indica como a velocidade varia de um ponto para outro no espaço. -
: Representa o gradiente de pressão. Esse termo mostra como a pressão varia no espaço e como isso força o fluido a se mover de regiões de alta pressão para baixa pressão. -
: É o termo viscoso, onde é a viscosidade do fluido. Esse termo descreve a difusão da velocidade devido à viscosidade, ou seja, como o atrito interno do fluido retarda o movimento. -
: São as forças externas atuando no fluido, como a gravidade ou forças de pressão externas.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre as hipóteses envolvidas nas equações de Navier-Stokes:
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Fluido Incompressível: Assume-se que a densidade
é constante, ou seja, o fluido não sofre compressão significativa. Isso simplifica a equação, eliminando termos relacionados à variação da densidade. -
Fluido Newtoniano: A viscosidade
é constante e relaciona as tensões de cisalhamento linearmente com as taxas de deformação. Isso significa que a relação entre esforço e deformação é direta e proporcional. -
Fluido Contínuo: Trata-se o fluido como uma substância contínua, ignorando a natureza molecular. Isso permite usar cálculo diferencial para descrever as propriedades do fluido.
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Ausência de Reações Químicas ou Mudanças de Fase: Não consideramos reações químicas ou mudanças de fase dentro do fluido que poderiam alterar suas propriedades.
Passo 5
Resumindo, as equações de Navier-Stokes descrevem como a velocidade de um fluido evolui ao longo do tempo sob a influência de várias forças, levando em conta propriedades como densidade e viscosidade. As hipóteses feitas simplificam a modelagem, tornando possível resolver problemas complexos de fluxo em diversas aplicações, como engenharia, meteorologia e oceanografia.
Resposta
As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso são dadas por:
Cada termo representa a densidade, variação de velocidade no tempo, transporte da velocidade pelo fluxo, gradiente de pressão, efeitos da viscosidade e forças externas, respectivamente, sob as hipóteses de fluido incompressível, Newtoniano, contínuo e sem reações químicas ou mudanças de fase.