Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente escrever as equações de Navier-Stokes e explicar cada termo, além de mencionar as hipóteses usadas. Vamos trabalhar com a Mecânica dos Fluidos, que estuda o movimento dos fluidos e as forças que atuam sobre eles. Para isso, vamos precisar entender conceitos como velocidade, pressão, viscosidade e forças externas que influenciam o fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos apresentar a Equação de Navier-Stokes na sua forma mais geral para um fluido incompressível e viscoso:
rho ( partial vpartial t + (v cdot nabla)v ) = -nabla p + mu nabla^2 v + f

Passo 3

Agora, vamos detalhar cada termo dessa equação:
  • rho: É a densidade do fluido, ou seja, a massa por unidade de volume.
  • partial vpartial t: Representa a variação temporal da velocidade do fluido. Mostra como a velocidade muda com o tempo em um ponto fixo.
  • (v cdot nabla)v: É o termo da advecção, que descreve como a velocidade é transportada pelo próprio fluxo do fluido. Basicamente, indica como a velocidade varia de um ponto para outro no espaço.
  • -nabla p: Representa o gradiente de pressão. Esse termo mostra como a pressão varia no espaço e como isso força o fluido a se mover de regiões de alta pressão para baixa pressão.
  • mu nabla^2 v: É o termo viscoso, onde mu é a viscosidade do fluido. Esse termo descreve a difusão da velocidade devido à viscosidade, ou seja, como o atrito interno do fluido retarda o movimento.
  • f: São as forças externas atuando no fluido, como a gravidade ou forças de pressão externas.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre as hipóteses envolvidas nas equações de Navier-Stokes:
  1. Fluido Incompressível: Assume-se que a densidade rho é constante, ou seja, o fluido não sofre compressão significativa. Isso simplifica a equação, eliminando termos relacionados à variação da densidade.
  2. Fluido Newtoniano: A viscosidade mu é constante e relaciona as tensões de cisalhamento linearmente com as taxas de deformação. Isso significa que a relação entre esforço e deformação é direta e proporcional.
  3. Fluido Contínuo: Trata-se o fluido como uma substância contínua, ignorando a natureza molecular. Isso permite usar cálculo diferencial para descrever as propriedades do fluido.
  4. Ausência de Reações Químicas ou Mudanças de Fase: Não consideramos reações químicas ou mudanças de fase dentro do fluido que poderiam alterar suas propriedades.

Passo 5

Resumindo, as equações de Navier-Stokes descrevem como a velocidade de um fluido evolui ao longo do tempo sob a influência de várias forças, levando em conta propriedades como densidade e viscosidade. As hipóteses feitas simplificam a modelagem, tornando possível resolver problemas complexos de fluxo em diversas aplicações, como engenharia, meteorologia e oceanografia.

Resposta

As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso são dadas por:
rho ( partial vpartial t + (v cdot nabla)v ) = -nabla p + mu nabla^2 v + f
Cada termo representa a densidade, variação de velocidade no tempo, transporte da velocidade pelo fluxo, gradiente de pressão, efeitos da viscosidade e forças externas, respectivamente, sob as hipóteses de fluido incompressível, Newtoniano, contínuo e sem reações químicas ou mudanças de fase.

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