Escrever o nome completo:
O valor de
pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
(a)
(b)
Aplique o método de Newton
e precisão
cada caso e compare os resultados obtidos. Justifique.
O valor de
(a)
(b)
Aplique o método de Newton
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar o valor de
resolvendo duas equações trigonométricas usando o Método de Newton. As equações são:
(a)
(b)
(a)
(b)
Para resolver isso, vamos precisar usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. A gente vai começar com um palpite inicial
e continuar as iterações até que a precisão seja menor que
. Vamos comparar os resultados das duas equações no final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Ele é uma forma de aproximar as raízes de uma função usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é a função que queremos igualar a zero, e
é a derivada dessa função.
Passo 3
Vamos começar com a equação (a):
.
Nossa função é
e a derivada dela é
.
Começamos com
.
Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton:
Calculando isso numericamente e repetindo o processo até a precisão desejada.
Passo 4
Agora, vamos para a equação (b):
.
Rearranjando, temos
e a derivada é
.
Usamos o mesmo ponto inicial
.
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
E novamente, repetimos o processo até atingir a precisão de
.
Passo 5
Vamos implementar as iterações para cada caso até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Para a equação (a):
Após algumas iterações, vamos convergir para .
Após algumas iterações, vamos convergir para
Para a equação (b):
Da mesma forma, as iterações também vão nos levar para .
Da mesma forma, as iterações também vão nos levar para
Resposta
Usando o Método de Newton com
e precisão
, ambas as equações
e
convergem para
. Portanto, conseguimos estimar o valor de
através das duas equações, confirmando que
com a precisão desejada.