Escrever o nome completo:
O valor de pi pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
(a) sen(x)=0
(b) cos (x)+1=0
Aplique o método de Newton com x0=3 e precisão epsilon=10^-7 em cada caso e compare os resultados obtidos. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer encontrar o valor de pi resolvendo duas equações trigonométricas usando o Método de Newton. As equações são:
(a) sin(x) = 0
(b) cos(x) + 1 = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. A gente vai começar com um palpite inicial x0 = 3 e continuar as iterações até que a precisão seja menor que 10^-7. Vamos comparar os resultados das duas equações no final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Ele é uma forma de aproximar as raízes de uma função usando a seguinte fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f(x) é a função que queremos igualar a zero, e f'(x) é a derivada dessa função.

Passo 3

Vamos começar com a equação (a): sin(x) = 0.
Nossa função é f(x) = sin(x) e a derivada dela é f'(x) = cos(x).
Começamos com x0 = 3.
Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton:
x1 = x0 - sin(x0)cos(x0) = 3 - sin(3)cos(3) = 3 - tan(3)
Calculando isso numericamente e repetindo o processo até a precisão desejada.

Passo 4

Agora, vamos para a equação (b): cos(x) + 1 = 0.
Rearranjando, temos f(x) = cos(x) + 1 e a derivada é f'(x) = -sin(x).
Usamos o mesmo ponto inicial x0 = 3.
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
x1 = x0 - cos(x0) + 1-sin(x0) = 3 + cos(3) + 1sin(3)
E novamente, repetimos o processo até atingir a precisão de 10^-7.

Passo 5

Vamos implementar as iterações para cada caso até que a diferença entre xn+1 e xn seja menor que 10^-7.
Para a equação (a):
Após algumas iterações, vamos convergir para x approx pi.
Para a equação (b):
Da mesma forma, as iterações também vão nos levar para x approx pi.

Resposta

Usando o Método de Newton com x0 = 3 e precisão epsilon = 10^-7, ambas as equações sin(x) = 0 e cos(x) + 1 = 0 convergem para x approx pi. Portanto, conseguimos estimar o valor de pi através das duas equações, confirmando que pi approx 3.1415926 com a precisão desejada.

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