Em um estudo clínico, constatou-se que uma determinada injeção intravenosa reduziu o nível de uma certa substância no sangue nas seguintes quantidades:
. Assuma que esta amostra é aleatória e proveniente de uma população
.
(b) Teste a hipótese nula de que
contra a alternativa de que
. Use
.
(b) Teste a hipótese nula de que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta os resultados de uma injeção intravenosa que supostamente reduz os níveis de uma certa substância no sangue. Temos os seguintes dados de redução:
. Nosso objetivo aqui é testar se a média dessa redução, representada por
, é igual a zero (hipótese nula) ou maior que zero (hipótese alternativa). Para isso, vamos trabalhar com estatística inferencial, mais especificamente com o teste de hipóteses para a média de uma população que segue uma distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média amostral (
) e o desvio padrão amostral (
) dos dados fornecidos. A média nos dá uma ideia do valor central dos nossos dados, enquanto o desvio padrão nos informa o quanto os dados variam em torno dessa média.
Vamos calcular a média:
Agora, o desvio padrão amostral:
Primeiro, calculamos a variância:
Primeiro, calculamos a variância:
Calculando cada
e somando:
Somando tudo:
Agora, a variância:
Então, o desvio padrão:
Passo 3
Agora que temos a média amostral (
) e o desvio padrão (
), vamos calcular o estatístico de teste. Como a população é normalmente distribuída e não conhecemos o desvio padrão populacional (
), usamos o teste t de Student.
A fórmula para o estatístico t é:
Onde:
-
é a média amostral -
é a média sob a hipótese nula (neste caso, 0) -
é o desvio padrão amostral -
é o tamanho da amostra
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste, que é o valor de t que define a região de rejeição da hipótese nula. Como estamos testando
, é um teste unilateral à direita. O nível de significância (
) é 0,01.
Para encontrar o valor crítico, usamos a distribuição t de Student com
graus de liberdade. No nosso caso,
.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico para
e
em um teste unilateral é aproximadamente
.
Passo 5
Com o estatístico de teste calculado (
) e o valor crítico (
), comparamos os dois valores:
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Portanto, a condição para rejeitar a hipótese nula é atendida.
Resposta
Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula de que
ao nível de significância de
. Isso indica que há evidências estatísticas suficientes para concluir que a média de redução dos níveis da substância no sangue é maior que zero.