Em um estudo clínico, constatou-se que uma determinada injeção intravenosa reduziu o nível de uma certa substância no sangue nas seguintes quantidades: 0,7,-2,14,15,6,16,19,26. Assuma que esta amostra é aleatória e proveniente de uma população X sim N(mu, sigma^2).
(b) Teste a hipótese nula de que mu=0 contra a alternativa de que mu>0. Use alpha=0.01.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta os resultados de uma injeção intravenosa que supostamente reduz os níveis de uma certa substância no sangue. Temos os seguintes dados de redução: 0, 7, -2, 14, 15, 6, 16, 19, 26. Nosso objetivo aqui é testar se a média dessa redução, representada por mu, é igual a zero (hipótese nula) ou maior que zero (hipótese alternativa). Para isso, vamos trabalhar com estatística inferencial, mais especificamente com o teste de hipóteses para a média de uma população que segue uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média amostral ( barx) e o desvio padrão amostral ( s) dos dados fornecidos. A média nos dá uma ideia do valor central dos nossos dados, enquanto o desvio padrão nos informa o quanto os dados variam em torno dessa média.
Vamos calcular a média:
barx = 0 + 7 + (-2) + 14 + 15 + 6 + 16 + 19 + 269 = 1019 approx 11,22
Agora, o desvio padrão amostral:
Primeiro, calculamos a variância:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada (xi - barx)^2 e somando:
(0 - 11,22)^2 approx 125,05 (7 - 11,22)^2 approx 17,82 (-2 - 11,22)^2 approx 175,41 (14 - 11,22)^2 approx 7,73 (15 - 11,22)^2 approx 14,29 (6 - 11,22)^2 approx 27,38 (16 - 11,22)^2 approx 23,23 (19 - 11,22)^2 approx 45,98 (26 - 11,22)^2 approx 219,51
Somando tudo:
125,05 + 17,82 + 175,41 + 7,73 + 14,29 + 27,38 + 23,23 + 45,98 + 219,51 approx 761,00
Agora, a variância:
s^2 = 761,009 - 1 = 761,008 approx 95,13
Então, o desvio padrão:
s = raiz95,13 approx 9,75

Passo 3

Agora que temos a média amostral ( barx approx 11,22) e o desvio padrão ( s approx 9,75), vamos calcular o estatístico de teste. Como a população é normalmente distribuída e não conhecemos o desvio padrão populacional ( sigma), usamos o teste t de Student.
A fórmula para o estatístico t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • mu0 é a média sob a hipótese nula (neste caso, 0)
  • s é o desvio padrão amostral
  • n é o tamanho da amostra
Vamos substituir os valores:
t = 11,22 - 09,75raiz9 = 11,229,753 = 11,223,25 approx 3,45

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste, que é o valor de t que define a região de rejeição da hipótese nula. Como estamos testando mu > 0, é um teste unilateral à direita. O nível de significância ( alpha) é 0,01.
Para encontrar o valor crítico, usamos a distribuição t de Student com n - 1 graus de liberdade. No nosso caso, df = 9 - 1 = 8.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico para df = 8 e alpha = 0,01 em um teste unilateral é aproximadamente 2,896.

Passo 5

Com o estatístico de teste calculado ( t approx 3,45) e o valor crítico ( tcrítico approx 2,896í), comparamos os dois valores:
  • Se t > tcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se t <= tcríticoí, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
3,45 > 2,896
Portanto, a condição para rejeitar a hipótese nula é atendida.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula de que mu = 0 ao nível de significância de 0,01. Isso indica que há evidências estatísticas suficientes para concluir que a média de redução dos níveis da substância no sangue é maior que zero.

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