Um estudo das modificações percentuais dos preços, no atacado, de produtos industrializados, mostrou que há distribuição normal com média de 50 % e desvio-padrão de 10 %. Qual a porcentagem dos artigos que:
a) Sofreram aumentos superiores a 75 % ?
b) Sofreram aumentos entre 30 % & 80 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as modificações percentuais nos preços de produtos industrializados no atacado. A distribuição dessas variações segue uma distribuição normal com média de 50% e desvio-padrão de 10%. A matéria aqui é Distribuição Normal, e vamos precisar usar conceitos como média, desvio-padrão e o procedimento de padronização (usando o escore Z) para resolver as probabilidades pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Queremos saber a porcentagem dos artigos que sofreram aumentos superiores a 75%.
A ideia é encontrar a probabilidade de X > 75%, onde X é normalmente distribuído com média mu = 50% e desvio-padrão sigma = 10%.

Passo 3

Para isso, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore Z:
Z = X - musigma
Aplicando os valores:
Z = 75% - 50%10% = 25%10% = 2,5

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de Z > 2,5. Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que:
P(Z > 2,5) approx 0,0062 ou 0,62%

Passo 5

Então, aproximadamente 0,62% dos artigos sofreram aumentos superiores a 75%.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): Queremos a porcentagem dos artigos que sofreram aumentos entre 30% e 80%.
Isso significa calcular P(30% <= X <= 80%).

Passo 7

Primeiro, padronizamos os dois valores:
Para X = 30%:
Z1 = 30% - 50%10% = -20%10% = -2
Para X = 80%:
Z2 = 80% - 50%10% = 30%10% = 3

Passo 8

Agora, queremos encontrar P(-2 <= Z <= 3). Consultando a tabela ou calculadora:
P(Z <= 3) approx 0,9987
P(Z <= -2) approx 0,0228
Então,
P(-2 <= Z <= 3) = 0,9987 - 0,0228 = 0,9759 ou 97,59%

Resposta

a) Aproximadamente 0,62% dos artigos sofreram aumentos superiores a 75%.
b) Aproximadamente 97,59% dos artigos sofreram aumentos entre 30% e 80%.

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