Estudos mostram que, daqui a anos, a população de certo país será milhares de pessas e a renda bruta do país será milhões de dólares, em que
a) Expresse a renda percapita do país em função do tempo . (cuidado com as unidades!)
b) O que acontecerá com a renda per capiat a longo prazo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a população e a renda bruta de um país ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é funções matemáticas e análise de limites. Vamos precisar lidar com expressões algébricas e entender como as funções se comportam com o passar do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Expressar a renda per capita em função do tempo .
Para isso, precisamos das expressões de e :
  • (milhares de pessoas)
  • (milhões de dólares)
Mas atenção às unidades! está em milhares e em milhões. Para calcular a renda per capita em dólares por pessoa, precisamos ajustar as unidades:
  1. Converter para pessoas: .
  2. Converter para dólares: .
Então, a renda per capita será:
Portanto, substituindo e :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Determinar o que acontece com a renda per capita quando tende para o infinito ( ).
Para isso, analisamos o comportamento de conforme aumenta muito.
Primeiro, observamos as funções:
  • No numerador: . Quando é muito grande, os termos menores (como e ) são desprezados, então o numerador se aproxima de .
  • No denominador: . Aqui, o termo domina quando é grande.
Então, aproximando para :
ó
Isso significa que, a longo prazo, a renda per capita tende a 15 mil dólares por pessoa.

Resposta

a) A renda per capita em função do tempo é dólares por pessoa.
b) A renda per capita tende a 15 000 dólares por pessoa quando vai para o infinito.

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