Estudos mostram que, daqui a
anos, a população de certo país será
milhares de pessas e a renda bruta do país será
milhões de dólares, em que
a) Expresse a renda percapita do país
em função do tempo
. (cuidado com as unidades!)
b) O que acontecerá com a renda per capiat a longo prazo
b) O que acontecerá com a renda per capiat a longo prazo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a população e a renda bruta de um país ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é funções matemáticas e análise de limites. Vamos precisar lidar com expressões algébricas e entender como as funções se comportam com o passar do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Expressar a renda per capita
em função do tempo
.
Para isso, precisamos das expressões de
e
:
-
(milhares de pessoas) -
(milhões de dólares)
Mas atenção às unidades!
está em milhares e
em milhões. Para calcular a renda per capita em dólares por pessoa, precisamos ajustar as unidades:
- Converter
para pessoas: . - Converter
para dólares: .
Então, a renda per capita será:
Portanto, substituindo
e
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Determinar o que acontece com a renda per capita quando
tende para o infinito (
).
Para isso, analisamos o comportamento de
conforme
aumenta muito.
Primeiro, observamos as funções:
- No numerador:
. Quando é muito grande, os termos menores (como e ) são desprezados, então o numerador se aproxima de . - No denominador:
. Aqui, o termo domina quando é grande.
Então, aproximando
para
:
Isso significa que, a longo prazo, a renda per capita tende a 15 mil dólares por pessoa.
Resposta
a) A renda per capita em função do tempo é
dólares por pessoa.
b) A renda per capita tende a 15 000 dólares por pessoa quando
vai para o infinito.
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