Se
e
determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que a esperança matemática de $ X $ é 1, ou seja, $ \mathbf{E}[X] = 1 $, e a variância de $ X $ é 5, ou seja, $ \operatorname{Var}[X] = 5 $. A gente precisa descobrir o valor de $ \mathbf{E}\left[(2+X)^{2}\right] $. Para isso, vamos usar conceitos de esperança matemática e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a esperança matemática. A esperança $ \mathbf{E}[X] $ é como a média esperada de $ X $. Já a variância $ \operatorname{Var}[X] $ mede o quanto os valores de $ X $ se afastam dessa média. A relação entre esperança, variância e o segundo momento é dada por:
Passo 3
Sabemos que $ \mathbf{E}[X] = 1 $ e $ \operatorname{Var}[X] = 5 $. Vamos usar a fórmula acima para encontrar $ \mathbf{E}[X^{2}] $:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ \mathbf{E}\left[(2+X)^{2}\right] $. Vamos expandir esse quadrado:
Então, a esperança disso será:
Passo 5
Vamos calcular cada termo:
- $ \mathbf{E}[4] = 4 $ (já que a esperança de uma constante é a própria constante).
- $ \mathbf{E}[4X] = 4 \cdot \mathbf{E}[X] = 4 \cdot 1 = 4 $.
- Já encontramos $ \mathbf{E}[X^{2}] = 6 $.
Passo 6
Somando tudo:
Resposta
Portanto, $ \mathbf{E}\left[(2+X)^{2}\right] = 14 $.