Se E[X]=1 e Var[X]=5 determine
E[(2+X)^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que a esperança matemática de $ X $ é 1, ou seja, $ \mathbf{E}[X] = 1 $, e a variância de $ X $ é 5, ou seja, $ \operatorname{Var}[X] = 5 $. A gente precisa descobrir o valor de $ \mathbf{E}\left[(2+X)^{2}\right] $. Para isso, vamos usar conceitos de esperança matemática e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a esperança matemática. A esperança $ \mathbf{E}[X] $ é como a média esperada de $ X $. Já a variância $ \operatorname{Var}[X] $ mede o quanto os valores de $ X $ se afastam dessa média. A relação entre esperança, variância e o segundo momento é dada por:
E[X]

Passo 3

Sabemos que $ \mathbf{E}[X] = 1 $ e $ \operatorname{Var}[X] = 5 $. Vamos usar a fórmula acima para encontrar $ \mathbf{E}[X^{2}] $:
E[X] = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ \mathbf{E}\left[(2+X)^{2}\right] $. Vamos expandir esse quadrado:
E[(2+X)^2]
Então, a esperança disso será:
(2 + X)^2 = 4 + 4X + X^2

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. $ \mathbf{E}[4] = 4 $ (já que a esperança de uma constante é a própria constante).
  2. $ \mathbf{E}[4X] = 4 \cdot \mathbf{E}[X] = 4 \cdot 1 = 4 $.
  3. Já encontramos $ \mathbf{E}[X^{2}] = 6 $.

Passo 6

Somando tudo:
E[(2+X)^2] = 4 + 4 + 6 = 14

Resposta

Portanto, $ \mathbf{E}\left[(2+X)^{2}\right] = 14 $.

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