As variáveis aleatórias
e
tem função densidade conjunta dada por
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função densidade conjunta dada por:
O objetivo aqui é calcular a covariância entre $ X $ e $ Y $, ou seja, $ \operatorname{Cov}(X, Y) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre expectativas e como elas se relacionam para calcular a covariância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a covariância entre duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ é definida por:
Então, para calcular $ \operatorname{Cov}(X, Y) $, precisamos encontrar três expectativas: $ \mathbb{E}[X] $, $ \mathbb{E}[Y] $ e $ \mathbb{E}[XY] $.
Passo 3
Vamos começar encontrando a expectativa de $ X $, $ \mathbb{E}[X] $. Para isso, precisamos da função densidade marginal de $ X $, que obtemos integrando a função densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
Como $ \frac{2 e^{-2x}}{x} $ não depende de $ y $, a integral fica:
Agora, podemos calcular $ \mathbb{E}[X] $:
Essa é uma integral conhecida que resulta em:
Passo 4
Agora, vamos calcular a expectativa de $ Y $, $ \mathbb{E}[Y] $. Para isso, usamos a propriedade da esperança condicional:
Primeiro, vamos encontrar $ \mathbb{E}[Y|X=x] $. A distribuição condicional de $ Y $ dado $ X=x $ é:
Essa é a densidade de uma variável uniforme no intervalo
. A expectativa de $ Y $ dado $ X=x $ é, então:
Agora, voltamos à expectativa total:
Passo 5
Por fim, precisamos calcular $ \mathbb{E}[XY] $. Para isso, vamos usar a definição da esperança conjunta:
Substituindo $ f(x, y) = \frac{2 e^{-2x}}{x} $:
Calculando a integral interna:
Então:
Essa é uma integral de momentos de uma distribuição gama e resulta em:
Resposta
Agora, substituindo os valores encontrados na fórmula da covariância:
Então, $ \operatorname{Cov}(X, Y) = \frac{1}{8} $.