As variáveis aleatórias X e Y tem função densidade conjunta dada por
f(x, y)=2 e^-2 x / x, x>0,0
Calcule Cov(X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função densidade conjunta dada por:
X
O objetivo aqui é calcular a covariância entre $ X $ e $ Y $, ou seja, $ \operatorname{Cov}(X, Y) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre expectativas e como elas se relacionam para calcular a covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a covariância entre duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ é definida por:
X
Então, para calcular $ \operatorname{Cov}(X, Y) $, precisamos encontrar três expectativas: $ \mathbb{E}[X] $, $ \mathbb{E}[Y] $ e $ \mathbb{E}[XY] $.

Passo 3

Vamos começar encontrando a expectativa de $ X $, $ \mathbb{E}[X] $. Para isso, precisamos da função densidade marginal de $ X $, que obtemos integrando a função densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
X
Como $ \frac{2 e^{-2x}}{x} $ não depende de $ y $, a integral fica:
E[X]
Agora, podemos calcular $ \mathbb{E}[X] $:
X
Essa é uma integral conhecida que resulta em:
f(x, y)

Passo 4

Agora, vamos calcular a expectativa de $ Y $, $ \mathbb{E}[Y] $. Para isso, usamos a propriedade da esperança condicional:
Y
Primeiro, vamos encontrar $ \mathbb{E}[Y|X=x] $. A distribuição condicional de $ Y $ dado $ X=x $ é:
Essa é a densidade de uma variável uniforme no intervalo E[Y] . A expectativa de $ Y $ dado $ X=x $ é, então:
E[Y] = E[E[Y|X]]
Agora, voltamos à expectativa total:
E[Y|X=x]

Passo 5

Por fim, precisamos calcular $ \mathbb{E}[XY] $. Para isso, vamos usar a definição da esperança conjunta:
E[XY]
Substituindo $ f(x, y) = \frac{2 e^{-2x}}{x} $:
E[XY] = integral0^infty integral0^x x y f(x, y) , dy , dx
Calculando a integral interna:
f(x, y) = 2 e^-2xx
Então:
E[XY] = integral0^infty integral0^x x y cdot 2 e^-2xx , dy , dx = integral0^infty 2 e^-2x ( integral0^x y , dy ) dx
Essa é uma integral de momentos de uma distribuição gama e resulta em:
integral0^x y , dy = x^22

Resposta

Agora, substituindo os valores encontrados na fórmula da covariância:
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 14 - (12)(14) = 14 - 18 = 18
Então, $ \operatorname{Cov}(X, Y) = \frac{1}{8} $.

Exercícios relacionados