Em uma experiência didática, cinco esferas de metal foram presas em um barbante, de forma que a distância entre esferas consecutivas aumentava em progressão aritmética. O barbante foi suspenso e a primeira esfera ficou em contato com o chão. Olhando o barbante de baixo para cima, as distâncias entre as esferas ficavam cada vez maiores. Quando o barbante foi solto, o som das colisões entre duas esferas consecutivas e o solo foi gerado em intervalos de tempo exatamente iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre cinco esferas de metal presas em um barbante, onde a distância entre cada esfera aumenta de forma aritmética. Quando o barbante é solto, os sons das colisões entre as esferas e o chão acontecem em intervalos de tempo iguais. Vamos usar conceitos de cinemática para resolver isso. Precisaremos entender movimento uniformemente acelerado e progressão aritmética para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo aumenta de um valor constante, chamado de razão ®. No nosso caso, a distância entre as esferas aumenta de forma aritmética, então a diferença entre uma esfera e a próxima é sempre r.
Passo 3
Agora, vamos pensar no movimento das esferas ao cair. Quando soltamos o barbante, todas as esferas começam a cair sob a influência da gravidade. A aceleração da gravidade (g) é constante e igual a aproximadamente 9,8 m/s².
Passo 4
Como as colisões acontecem em intervalos de tempo iguais, isso significa que a diferença de altura entre as esferas faz com que elas levem o mesmo tempo para atingir o chão a partir do ponto de solta. Vamos chamar a distância entre a primeira e a segunda esfera de r, entre a segunda e a terceira de 2r, e assim por diante, formando uma PA.
Passo 5
Usando a fórmula do movimento uniformemente acelerado para a queda livre:
onde:
- $ h $ é a altura,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ t $ é o tempo.
Passo 6
Vamos aplicar essa fórmula para cada esfera. A primeira esfera, que está mais próxima do chão, vai cair uma distância $ h = 0 $ (já está no chão) e não precisa considerar tempo. A segunda esfera está a uma distância $ r $, a terceira a $ 2r $, e assim por diante.
Passo 7
Para que os intervalos de tempo sejam iguais, a diferença nas alturas deve levar ao mesmo aumento no tempo de queda. Então, temos:
Para a segunda esfera:
Para a terceira esfera:
Onde $ \Delta t $ é o intervalo de tempo entre as colisões.
Passo 8
Expandindo a equação da terceira esfera:
Sabendo que $ r = \frac{1}{2} g t^2 $, podemos substituir:
Passo 9
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} g $:
Passo 10
Arrumando a equação:
Essa é uma equação quadrática em termos de $ t $. Resolvendo para $ t $, teremos:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Resposta
Portanto, o tempo inicial de queda da segunda esfera é $ t = \Delta t (1 + \sqrt{2}) $, onde $ \Delta t $ é o intervalo de tempo igual entre as colisões.