Em uma experiência didática, cinco esferas de metal foram presas em um barbante, de forma que a distância entre esferas consecutivas aumentava em progressão aritmética. O barbante foi suspenso e a primeira esfera ficou em contato com o chão. Olhando o barbante de baixo para cima, as distâncias entre as esferas ficavam cada vez maiores. Quando o barbante foi solto, o som das colisões entre duas esferas consecutivas e o solo foi gerado em intervalos de tempo exatamente iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre cinco esferas de metal presas em um barbante, onde a distância entre cada esfera aumenta de forma aritmética. Quando o barbante é solto, os sons das colisões entre as esferas e o chão acontecem em intervalos de tempo iguais. Vamos usar conceitos de cinemática para resolver isso. Precisaremos entender movimento uniformemente acelerado e progressão aritmética para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo aumenta de um valor constante, chamado de razão ®. No nosso caso, a distância entre as esferas aumenta de forma aritmética, então a diferença entre uma esfera e a próxima é sempre r.

Passo 3

Agora, vamos pensar no movimento das esferas ao cair. Quando soltamos o barbante, todas as esferas começam a cair sob a influência da gravidade. A aceleração da gravidade (g) é constante e igual a aproximadamente 9,8 m/s².

Passo 4

Como as colisões acontecem em intervalos de tempo iguais, isso significa que a diferença de altura entre as esferas faz com que elas levem o mesmo tempo para atingir o chão a partir do ponto de solta. Vamos chamar a distância entre a primeira e a segunda esfera de r, entre a segunda e a terceira de 2r, e assim por diante, formando uma PA.

Passo 5

Usando a fórmula do movimento uniformemente acelerado para a queda livre:
h = 12 g t^2
onde:
  • $ h $ é a altura,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 6

Vamos aplicar essa fórmula para cada esfera. A primeira esfera, que está mais próxima do chão, vai cair uma distância $ h = 0 $ (já está no chão) e não precisa considerar tempo. A segunda esfera está a uma distância $ r $, a terceira a $ 2r $, e assim por diante.

Passo 7

Para que os intervalos de tempo sejam iguais, a diferença nas alturas deve levar ao mesmo aumento no tempo de queda. Então, temos:
Para a segunda esfera:
r = 12 g t^2
Para a terceira esfera:
2r = 12 g (t + De
Onde $ \Delta t $ é o intervalo de tempo entre as colisões.

Passo 8

Expandindo a equação da terceira esfera:
2r = 12 g (t^2 + 2t De
Sabendo que $ r = \frac{1}{2} g t^2 $, podemos substituir:
r = 12 g t^2
2 cdot 12 g t^2 = 12 g (t^2 + 2t De

Passo 9

Simplificando a equação:
g t^2 - 12 g t^2 = g t De
12 g t^2 = g t De
Dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} g $:
12 g

Passo 10

Arrumando a equação:
t^2 - 2 t De
Essa é uma equação quadrática em termos de $ t $. Resolvendo para $ t $, teremos:
t
t
t = 2 De
t = 2 De
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = 2 De

Resposta

Portanto, o tempo inicial de queda da segunda esfera é $ t = \Delta t (1 + \sqrt{2}) $, onde $ \Delta t $ é o intervalo de tempo igual entre as colisões.

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