Explique porque, mesmo com n infty, a violação da hipótese E(u mid X1, cdots, Xk)= 0 , implica em estimadores inconsistentes. (1 ponto)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela fala sobre estimadores consistentes na estatística e está perguntando por que, mesmo com um tamanho de amostra muito grande ($ n \rightarrow \infty $), se a hipótese $ E(u \mid X_{1}, \cdots, X_{k}) = 0 $ não for satisfeita, os estimadores se tornam inconsistentes. Ou seja, vamos ver por que essa condição é tão importante para que os estimadores cheguem certinhos ao valor verdadeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um estimador ser consistente. Um estimador é consistente se, à medida que aumentamos o tamanho da amostra, ele se aproxima do verdadeiro valor do parâmetro que estamos tentando estimar. Isso é fundamental para termos confiança nos nossos resultados quando trabalhamos com grandes conjuntos de dados.

Passo 3

A hipótese $ E(u \mid X_{1}, \cdots, X_{k}) = 0 $ quer dizer que a média do erro $ u $ dado qualquer valor das variáveis explicativas $ X_{1}, \cdots, X_{k} $ é zero. Essa condição é crucial para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários (OLS) sejam consistentes, ou seja, para que eles realmente apontem para os valores certos conforme a amostra cresce.

Passo 4

Se essa hipótese não se mantiver, ou seja, se $ E(u \mid X_{1}, \cdots, X_{k}) \neq 0 $, isso indica que há uma relação sistemática entre os erros e as variáveis explicativas. Em termos simples, os erros não estão mais “aleatórios” em relação às variáveis que estamos usando para fazer a previsão ou estimativa, o que introduz um viés nos estimadores de OLS.

Passo 5

Mesmo aumentando o tamanho da amostra indefinidamente ($ n \rightarrow \infty $), esse viés não some porque a relação entre os erros e as variáveis explicativas persiste. Ou seja, os estimadores acabam não se aproximando do verdadeiro valor do parâmetro que queremos estimar, mantendo-se distantes mesmo com mais dados.

Resposta

Portanto, se a hipótese $ E(u \mid X_{1}, \cdots, X_{k}) = 0 $ for violada, os estimadores não serão consistentes, mesmo com amostras muito grandes, porque o viés introduzido não desaparece.

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