Explique como as tensões são transformadas quando a orientação do sistema de coordenadas é alterada. Qual é a relação entre o ângulo de rotação e as novas tensões?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar como as tensões se transformam quando mudamos a orientação do sistema de coordenadas. Isso está ligado ao conteúdo de transformação de tensões em mecânica dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as tensões originais se relacionam com as novas tensões após a rotação do sistema, usando o ângulo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um ponto de um material, as tensões podem ser representadas por componentes na horizontal (
), na vertical (
) e pelo cisalhamento (
). Essas tensões são medidas em relação a um sistema de coordenadas específico.
Passo 3
Quando a gente altera a orientação do sistema de coordenadas, ou seja, gira o sistema em torno do ponto de interesse por um ângulo
, as tensões também mudam em relação a esse novo sistema. A ideia é descobrir como as tensões originais (
,
,
) se transformam para novas tensões (
,
,
) no sistema girado.
Passo 4
Para encontrar essas novas tensões, usamos as equações de transformação de tensões. Essas fórmulas relacionam as tensões originais com as tensões transformadas e o ângulo
de rotação. As equações são:
Essas fórmulas mostram como cada componente de tensão no novo sistema (
,
,
) depende das tensões originais e do ângulo de rotação
.
Passo 5
Observando as fórmulas, percebemos que o ângulo de rotação
está sempre multiplicado por 2 nas funções trigonométricas (
e
). Isso significa que as tensões novas dependem do dobro do ângulo de rotação. Essa relação é fundamental porque garante que, ao girarmos o sistema em 180°, as tensões retornam ao estado original, já que
e
.
Resposta
As tensões são transformadas usando as equações de transformação de tensões, que relacionam as tensões originais com as novas tensões após a rotação do sistema de coordenadas pelo ângulo
. A relação chave é que o ângulo de rotação
aparece multiplicado por 2 nas funções trigonométricas das equações, ou seja, as novas tensões
,
e
dependem de
.
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