f(x) = x^2 + 2x + 1, -2 < x <= 2

Passo 1

Então, temos a função definida para . Vamos analisar essa função usando conceitos de funções quadráticas para encontrar seus valores mínimos e máximos dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Podemos fatorar o polinômio quadrático:
Isso mostra que a função é um quadrado perfeito, o que facilita a análise.

Passo 3

Sabemos que um quadrado perfeito como nunca é negativo e atinge o valor mínimo quando a expressão dentro do quadrado é zero. Então, vamos encontrar onde :
Portanto, o valor mínimo da função ocorre em .

Passo 4

Vamos calcular o valor mínimo da função em :
Agora, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo para encontrar o valor máximo.
Para :
E para próximo de -2 (já que ):
Quando se aproxima de -2:

Passo 5

Concluímos que, dentro do intervalo :
  • O valor mínimo da função é 0, atingido em .
  • O valor máximo da função é 9, atingido em .

Resposta

A função definida no intervalo possui um valor mínimo de 0 em e um valor máximo de 9 em .

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