Faz-se vibrar um diapasão, próximo à boca de uma proveta cheia de água, à medida que se vai retirando água do seu interior. A coluna de ar na proveta começa a vibrar quando a água atinge uma distância I1 da borda. Continua-se a tirar água da proveta e a coluna de ar vibra novamente quando a água atinge uma distância I2 da borda. Calcule I1 / 2.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema envolvendo vibrações e ressonância em colunas de ar. Especificamente, quando a gente vibra um diapasão perto de uma proveta cheia de água e vai retirando água, a coluna de ar dentro da proveta começa a vibrar em certos pontos. Nosso objetivo é descobrir a razão entre duas dessas distâncias onde a vibração acontece, ou seja, calcular I1 / 2 = I1I2. Para resolver isso, vamos precisar entender como a ressonância funciona em tubos fechados e usar algumas fórmulas relacionadas a ondas estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um tubo fechado (como a nossa proveta com água fechando uma das extremidades), a ressonância ocorre quando o comprimento da coluna de ar forma múltiplos ímpares de um quarto do comprimento de onda da vibração. Isso significa que o comprimento L da coluna de ar é dado por:
L = (2n - 1)lambda4
onde n é um número inteiro (1, 2, 3, …) e lambda é o comprimento de onda da vibração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos dois casos do problema:
  • Primeira vibração ( I1): Esse é o primeiro ponto onde a coluna de ar ressoa, então n = 1. Substituindo na fórmula:
I1 = (2 times 1 - 1)lambda4 = lambda4
  • Segunda vibração ( I2): Esse é o segundo ponto de ressonância, então n = 2. Substituindo na fórmula:
I2 = (2 times 2 - 1)lambda4 = 3lambda4

Passo 4

Agora que temos as expressões para I1 e I2, podemos calcular a razão I1 / 2:
I1 / 2 = I1I2 = lambda43lambda4 = 13

Resposta

A razão I1 / 2 é 13.

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