Uma função exponencial da forma f(x) = ex tem a propriedade de ser sua própria derivada, ou seja, f’(x) = ex. Mediante essa informação, e os conhecimentos sobre as regras de derivação, considere a função: g(x) = ex(x² - x) Assinale a alternativa que forneça a derivada de 1ª ordem da função g(x). Alternativas:
a) g’(x) = ex.
b) g’(x) = (x² - x)e²x.
c) g’(x) = (x² - x)e²x - 1.
d) g’(x) = (x² + x - 1)ex.
e) g’(x) = e²x - 1.
a) g’(x) = ex.
b) g’(x) = (x² - x)e²x.
c) g’(x) = (x² - x)e²x - 1.
d) g’(x) = (x² + x - 1)ex.
e) g’(x) = e²x - 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função exponencial dada por $ f(x) = e^{x} $ que tem a propriedade bacana de ser a própria sua derivada, ou seja, $ f’(x) = e^{x} $. O exercício nos apresenta a função $ g(x) = e{x}(x{2} - x) $ e pede para encontrarmos a derivada de primeira ordem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é uma das regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do produto. Se temos duas funções multiplicando, digamos $ u(x) $ e $ v(x) $, então a derivada do produto delas é:
Isso significa que a gente deriva uma função e multiplica pela outra, e depois faz o contrário e soma tudo.
Passo 3
No nosso caso, vamos identificar as duas funções que estão multiplicando:
Agora, vamos derivar cada uma delas separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos $ u(x) = e^{x} $. Como sabemos, a derivada de $ e^{x} $ é ela mesma:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(x) = x^{2} - x $. Aplicando as regras básicas de derivação:
Passo 6
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, usamos a regra do produto para encontrar a derivada de $ g(x) $:
Passo 7
Vamos fatorar o $ e^{x} $ para simplificar:
Somando os termos dentro do parênteses:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
A derivada de primeira ordem da função $ g(x) $ é:
Alternativa d)