Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especialmente na análise de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero para achar os pontos críticos, e depois usar o teste das derivadas segundas para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para
, a derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, as soluções são:
E, consequentemente:
- Se
, então - Se
, então
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste das derivadas segundas. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas segundas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Aqui,
e
, então esse ponto é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de mínimo local.
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</body></html>
Encontre o domínio de definição da função
.
<html><head></head><body><div>Encontre o trabalho realizado por <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“37.521ex” height=“3.273ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1097 16584.4 1446.5”><title>F = (y - x^2) i + (z - y^2) j + (x - z^2) k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 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