O grau médio de um grafo
é definido como
. Mostre que o grau médio de qualquer grafo
é igual a
, sendo
a densidade de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com teoria dos grafos, especificamente com o conceito de grau médio de um grafo. Precisamos mostrar que o grau médio de qualquer grafo
é igual a
, onde
é a densidade de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o grau médio e a densidade de um grafo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o grau de um vértice. O grau
de um vértice
é o número de arestas que estão conectadas a ele. O grau médio do grafo é a média desses graus para todos os vértices, ou seja:
onde
é o número de vértices no grafo.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a densidade
de um grafo. A densidade é definida como o quociente entre o número de arestas
e o número de vértices
:
Passo 4
Sabemos que em qualquer grafo, a soma dos graus de todos os vértices é igual a duas vezes o número de arestas. Isso porque cada aresta contribui para o grau de dois vértices. Portanto:
Passo 5
Substituindo essa relação na fórmula do grau médio:
Perceba que
é exatamente a definição de
.
Resposta
Portanto, o grau médio de qualquer grafo
é igual a
.