Uma estrela é um grafo bipartido tal que uma das partes, digamos
, é um conjunto unitário e o vértice que pertence a ela está ligado a todos os vértices da outra parte,
. Com base nessa definição, determine os graus dos vértices de uma estrela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma estrela, que é um tipo de grafo bipartido. Um grafo bipartido é dividido em duas partes,
e
, sem conexões dentro da mesma parte. No caso da estrela, a parte
tem só um vértice, e ele está conectado a todos os vértices da parte
. A gente precisa descobrir qual é o grau de cada vértice nessa estrela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é grau de um vértice e como funciona um grafo bipartido, especialmente uma estrela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o grau de um vértice. O grau de um vértice é o número de arestas que estão conectadas a ele. Então, para cada vértice na estrela, vamos contar quantas conexões (arestas) ele tem.
Passo 3
Na estrela, temos duas partes:
e
. A parte
tem somente um vértice. Como a estrela é um grafo bipartido, esse único vértice de
está conectado a todos os vértices de
. Vamos chamar esse vértice de
e os vértices de
de
, onde
é o número de vértices em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o grau de
. Já que
está conectado a todos os
vértices de
, o grau de
é
. Ou seja:
Passo 5
Em seguida, vamos ver o grau de cada vértice em
. Cada vértice de
está conectado apenas a
e não a nenhum outro vértice de
(já que grafo bipartido não tem conexões dentro da mesma parte). Então, cada vértice
tem apenas uma conexão, que é com
. Portanto:
Resposta
Os graus dos vértices de uma estrela são: o vértice central possui grau
, onde
é o número de vértices na parte
, e cada vértice da parte
possui grau
.