O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa fixa contendo um furo de 4 cm de diâmetro. Parte do jato passa pelo furo e parte é desviada na placa. Determine a força horizontal resultante devido ao passo do escoamento. Considere aceleração da gravidade igual a 10 m^2 / s, e densidade da água igual a 1000 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um jato de água com diâmetro de 6 cm que bate numa placa com um furo de 4 cm de diâmetro. Parte da água passa pelo furo e parte é desviada. Nosso objetivo é encontrar a força horizontal resultante dessa água que passa e da água que é desviada. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de fluido em movimento e força resultante devido ao fluxo. Vamos usar as fórmulas de área de círculos e de força relacionada ao movimento da água.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas do jato de água e do furo na placa. A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2
Onde Ajato = pi ( 62 )^2 = pi times 3^2 = 9pi , cm^2 é o diâmetro.
Para o jato de água (6 cm de diâmetro):
Afuro = pi ( 42 )^2 = pi times 2^2 = 4pi , cm^2
Para o furo na placa (4 cm de diâmetro):

Passo 3

Agora, vamos descobrir a velocidade da água no jato. Como a água está fluindo de um diâmetro maior para um menor, podemos usar a equação de continuidade, que diz que a vazão (quantidade de água por segundo) é constante. A equação é:
Ajato times vjato = Afuro times vfuro
Como estamos interessados na velocidade do furo, isolamos vfuro = AjatoAfuro times vjato = 9pi4pi times vjato = 94 vjato :

Passo 4

Para encontrar a força resultante, usamos a fórmula da força relacionada à mudança de momento da água:
F = dotm times De
Onde dotm = rho times Ajato times vjato é a taxa de fluxo de massa e é a mudança na velocidade.
A taxa de fluxo de massa pode ser calculada por:
Com .

Passo 5

Vamos converter as áreas de cm² para m² para manter as unidades consistentes:
Ajato = 9pi , cm^2 = 9pi times 10^-4 , m^2 = 0,002826 , m^2
Afuro = 4pi , cm^2 = 4pi times 10^-4 , m^2 = 0,001257 , m^2

Passo 6

Agora, expressamos a força em termos de F = rho times Ajato times vjato times (vfuro - vjato) :
F = 1000 times 0,002826 times vjato times ( 94vjato - vjato ) = 1000 times 0,002826 times vjato times 54vjato
Substituindo F = 1000 times 0,002826 times 54 vjato^2 = 1000 times 0,0035325 times vjato^2 = 3,5325 vjato^2 :

Passo 7

Precisamos agora encontrar v = raiz2 g h . Para isso, podemos usar a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade do fluido com a altura da coluna:
vjato = raiz2 g h
Mas como não temos a altura, vamos considerar que a energia do jato está balanceada pela velocidade. Uma abordagem simplificada é considerar que o jato é submetido à aceleração da gravidade:
Sem a altura , vamos assumir que o jato está entrando com uma certa velocidade inicial que precisamos expressar em termos do diâmetro e velocidade.
Na verdade, o enunciado não fornece informações sobre a altura, então vamos considerar que toda a energia está na velocidade do jato e que podemos usar a equação de fluxo em termos da velocidade.
Como não temos a altura, vamos supor que a velocidade é constante e que a força será expressa em termos de . Assim, sem mais informações, a resposta ficará em função de .

Passo 8

Mas para simplificar e finalizar, vamos assumir que a velocidade do jato pode ser determinada pela equação de Bernoulli ou similar, mas sem dados adicionais, a força resultante é:
F = 3,5325 vjato^2
A menos que haja mais informações sobre a velocidade do jato, esse é o resultado final em termos de .

Resposta

A força horizontal resultante devido ao fluxo de água é dada por:
F = 3,5325 times vjato^2
Onde é a velocidade do jato de água.

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