Jogos de tabuleiro são atividades comuns de entretenimento na vida cotidiana das pessoas. Uma de suas características é a necessidade do uso de um tabuleiro com localizações bem definidas para o posicionamento de peças, podendo indicar também as fases do jogo. No livro 0 Homem que Calculava, de Malba Tahan (São Paulo: Record, 2002, p.120), há uma história na qual um rei deveria efetuar o pagamento pelos serviços de um de seus conselheiros, dando-lhe uma certa quantidade de grãos de trigo a ser calculada da seguinte forma: coloca-se 1 grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, 2 na segunda casa, 4 na terceira casa, 8 na quarta casa e assim dobrando-se sucessivamente até a última casa.
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3
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16
Considerando o tabuleiro
ilustrado acima, contendo a indicação da ordem das casas, construa um único algoritmo que:
Calcule, armazene em uma variável e escreva a quantidade total de grãos de trigo presentes no tabuleiro.
1 | 2 | 3 | 4 |
5 | 6 | 7 | 8 |
9 | 10 | 11 | 12 |
13 | 14 | 15 | 16 |
Calcule, armazene em uma variável e escreva a quantidade total de grãos de trigo presentes no tabuleiro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tabuleiro de 4x4 casas, totalizando 16 casas. Cada casa recebe uma quantidade de grãos de trigo que dobra em relação à casa anterior: 1 grão na primeira casa, 2 na segunda, 4 na terceira, e assim por diante. Nosso objetivo é calcular a quantidade total de grãos de trigo no tabuleiro. Para isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica, onde cada termo é o dobro do anterior.
Passo 2
Vamos identificar a sequência de grãos em cada casa. Observamos que a quantidade de grãos forma uma progressão geométrica com razão
. O primeiro termo dessa sequência é
grão.
Passo 3
Sabemos que em uma progressão geométrica, o enésimo termo é dado por:
No nosso caso,
.
Passo 4
Para encontrar a quantidade total de grãos no tabuleiro, precisamos somar todos os termos dessa progressão geométrica desde a primeira casa até a 16ª. A soma
de uma progressão geométrica é dada por:
Onde:
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula da soma:
Passo 6
Calculando
:
Portanto:
Resposta
A quantidade total de grãos de trigo no tabuleiro é 65.535 grãos.