Jogos de tabuleiro são atividades comuns de entretenimento na vida cotidiana das pessoas. Uma de suas características é a necessidade do uso de um tabuleiro com localizações bem definidas para o posicionamento de peças, podendo indicar também as fases do jogo. No livro 0 Homem que Calculava, de Malba Tahan (São Paulo: Record, 2002, p.120), há uma história na qual um rei deveria efetuar o pagamento pelos serviços de um de seus conselheiros, dando-lhe uma certa quantidade de grãos de trigo a ser calculada da seguinte forma: coloca-se 1 grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, 2 na segunda casa, 4 na terceira casa, 8 na quarta casa e assim dobrando-se sucessivamente até a última casa.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Considerando o tabuleiro |c|c|c|c| hline 1 & 2 & 3 & 4 hline 5 & 6 & 7 & 8 hline 9 & 10 & 11 & 12 hline 13 & 14 & 15 & 16 hline ilustrado acima, contendo a indicação da ordem das casas, construa um único algoritmo que:
Calcule, armazene em uma variável e escreva a quantidade total de grãos de trigo presentes no tabuleiro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tabuleiro de 4x4 casas, totalizando 16 casas. Cada casa recebe uma quantidade de grãos de trigo que dobra em relação à casa anterior: 1 grão na primeira casa, 2 na segunda, 4 na terceira, e assim por diante. Nosso objetivo é calcular a quantidade total de grãos de trigo no tabuleiro. Para isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica, onde cada termo é o dobro do anterior.

Passo 2

Vamos identificar a sequência de grãos em cada casa. Observamos que a quantidade de grãos forma uma progressão geométrica com razão . O primeiro termo dessa sequência é grão.

Passo 3

Sabemos que em uma progressão geométrica, o enésimo termo é dado por:
an = a1 times r^(n-1)
No nosso caso, .

Passo 4

Para encontrar a quantidade total de grãos no tabuleiro, precisamos somar todos os termos dessa progressão geométrica desde a primeira casa até a 16ª. A soma Sn = a1 times r^n - 1r - 1 de uma progressão geométrica é dada por:
Onde:

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula da soma:
S16 = 1 times 2^16 - 12 - 1 = 2^16 - 1

Passo 6

Calculando 2^16 = 65,536 :
S16 = 65,536 - 1 = 65,535
Portanto:

Resposta

A quantidade total de grãos de trigo no tabuleiro é 65.535 grãos.

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