A lei da distribuição das velocidades para o escoamento laminar entre placas planas paralelas é dada por
com origem no meio da distância
e separa estas placas. Considerando o escoamento de água a
, com
e
, calcular a tensão tangencial na placa superior e mostrar seu sentido. Faça o gráfico da variação da velocidade e da tensão de cisalhamento em função de y.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas. A velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas, e essa variação é dada pela fórmula:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com escoamento laminar entre placas paralelas.
O que vamos precisar:
- Entender a fórmula da velocidade.
- Conhecer a relação entre a tensão tangencial e a velocidade.
- Saber calcular derivadas básicas.
- Ter os valores de
, e a viscosidade da água a .
Agora, vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade:
Aqui,
é a velocidade do fluido na direção
em um ponto a uma distância
do centro entre as placas.
é a velocidade máxima, que ocorre no meio (
).
Objetivo: Encontrar a tensão tangencial (
) na placa superior.
Passo 3
A tensão tangencial em um fluido �� dada por:
Onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido. -
é a derivada da velocidade em relação à posição .
Explicação: A tensão tangencial representa a força interna que resiste ao escoamento do fluido. Ela depende da viscosidade do fluido e de como a velocidade muda com a posição.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a
.
A velocidade é:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na fórmula da tensão tangencial:
Interpretação do Sinal: O sinal negativo indica que a tensão tangencial age na direção oposta ao aumento da velocidade. Na placa superior, isso significa que a tensão está direcionada para baixo.
Passo 6
Vamos avaliar a tensão tangencial na placa superior. A placa superior está localizada em
.
Substituindo
na expressão de
:
Valor Absoluto da Tensão:
Sentido: Como o valor é negativo, a tensão tangencial na placa superior está direcionada para baixo.
Passo 7
Para calcular numérico, precisamos da viscosidade da água a
. A viscosidade da água a essa temperatura é aproximadamente:
Dado que:
Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, vamos fazer os gráficos solicitados.
-
Gráfico da Variação da Velocidade (
) em Função de A fórmula é uma parábola invertida:- No centro (
), . - Nas placas (
), .
- No centro (
-
Gráfico da Variação da Tensão de Cisalhamento (
) em Função de A tensão é linear em relação a: - No centro (
), . - Nas placas (
), .
- No centro (
Observação dos Gráficos:
- O gráfico da velocidade é simétrico em relação ao centro, formando uma parábola.
- O gráfico da tensão é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação negativa para a placa superior e positiva para a inferior.
Resposta
A tensão tangencial na placa superior é de aproximadamente
, direcionada para baixo. Os gráficos mostram que a velocidade atinge seu máximo no centro entre as placas e diminui até zero nas placas, enquanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição
, sendo máxima na placa superior e negativa na placa inferior.
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a) Quais são as seis categorias em que são classificados os fluidos?
b) Caracterize cada uma das categorias, descrevendo o comportamento da viscosidade, quando é aplicada uma força no fluido.
c) Esboce um gráfico no plano cartesiano ilustrando as seis categorias de comportamento reológico.
a) Quais são as seis categorias em que são classificados os fluidos?
b) Caracterize cada uma das categorias, descrevendo o comportamento da viscosidade, quando é aplicada uma força no fluido.
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a) Newtoniano;
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c) Dilatante;
d) Tixotrópico
a) Newtoniano;
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Um fluido Tixotrópico é um no qual a viscosidade:
a) É constante com o tempo e com a velocidade de agitação;
b) É constante apenas em relação ao tempo de agitação;
c) Aumenta com o tempo de mistura;
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a) É constante com o tempo e com a velocidade de agitação;
b) É constante apenas em relação ao tempo de agitação;
c) Aumenta com o tempo de mistura;
d) Diminui com o tempo de mistura.