A lei da distribuição das velocidades para o escoamento laminar entre placas planas paralelas é dada por
com origem no meio da distância
e separa estas placas. Considerando o escoamento de água a
, com
e
, calcular a tensão tangencial na placa superior e mostrar seu sentido. Faça o gráfico da variação da velocidade e da tensão de cisalhamento em função de y.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas. A velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas, e essa variação é dada pela fórmula:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com escoamento laminar entre placas paralelas.
O que vamos precisar:
- Entender a fórmula da velocidade.
- Conhecer a relação entre a tensão tangencial e a velocidade.
- Saber calcular derivadas básicas.
- Ter os valores de
, e a viscosidade da água a .
Agora, vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade:
Aqui,
é a velocidade do fluido na direção
em um ponto a uma distância
do centro entre as placas.
é a velocidade máxima, que ocorre no meio (
).
Objetivo: Encontrar a tensão tangencial (
) na placa superior.
Passo 3
A tensão tangencial em um fluido �� dada por:
Onde:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido. -
é a derivada da velocidade em relação à posição .
Explicação: A tensão tangencial representa a força interna que resiste ao escoamento do fluido. Ela depende da viscosidade do fluido e de como a velocidade muda com a posição.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a
.
A velocidade é:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na fórmula da tensão tangencial:
Interpretação do Sinal: O sinal negativo indica que a tensão tangencial age na direção oposta ao aumento da velocidade. Na placa superior, isso significa que a tensão está direcionada para baixo.
Passo 6
Vamos avaliar a tensão tangencial na placa superior. A placa superior está localizada em
.
Substituindo
na expressão de
:
Valor Absoluto da Tensão:
Sentido: Como o valor é negativo, a tensão tangencial na placa superior está direcionada para baixo.
Passo 7
Para calcular numérico, precisamos da viscosidade da água a
. A viscosidade da água a essa temperatura é aproximadamente:
Dado que:
Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, vamos fazer os gráficos solicitados.
-
Gráfico da Variação da Velocidade (
) em Função de A fórmula é uma parábola invertida:- No centro (
), . - Nas placas (
), .
- No centro (
-
Gráfico da Variação da Tensão de Cisalhamento (
) em Função de A tensão é linear em relação a: - No centro (
), . - Nas placas (
), .
- No centro (
Observação dos Gráficos:
- O gráfico da velocidade é simétrico em relação ao centro, formando uma parábola.
- O gráfico da tensão é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação negativa para a placa superior e positiva para a inferior.
Resposta
A tensão tangencial na placa superior é de aproximadamente
, direcionada para baixo. Os gráficos mostram que a velocidade atinge seu máximo no centro entre as placas e diminui até zero nas placas, enquanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição
, sendo máxima na placa superior e negativa na placa inferior.