A lei da distribuição das velocidades para o escoamento laminar entre placas planas paralelas é dada por
vxvmax =1-(2 yh)^2
com origem no meio da distância h e separa estas placas. Considerando o escoamento de água a 15^circ C, com vmax =0,30 m / s e h=0,50 mm, calcular a tensão tangencial na placa superior e mostrar seu sentido. Faça o gráfico da variação da velocidade e da tensão de cisalhamento em função de y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas. A velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas, e essa variação é dada pela fórmula:
vxvmax =1-(2 yh)^2
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com escoamento laminar entre placas paralelas.
O que vamos precisar:
  • Entender a fórmula da velocidade.
  • Conhecer a relação entre a tensão tangencial e a velocidade.
  • Saber calcular derivadas básicas.
  • Ter os valores de vmax, h e a viscosidade da água a 15^circ C.
Agora, vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade:
vx = vmax (1 - (2 yh)^2)
Aqui, vx é a velocidade do fluido na direção x em um ponto a uma distância y do centro entre as placas. vmax é a velocidade máxima, que ocorre no meio ( y=0).
Objetivo: Encontrar a tensão tangencial ( tau) na placa superior.

Passo 3

A tensão tangencial em um fluido �� dada por:
tau = mu dvxdy
Onde:
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • dvxdy é a derivada da velocidade em relação à posição y.
Explicação: A tensão tangencial representa a força interna que resiste ao escoamento do fluido. Ela depende da viscosidade do fluido e de como a velocidade muda com a posição.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a y.
A velocidade é:
vx = vmax (1 - (2 yh)^2)
Derivando em relação a y:
dvxdy = vmax cdot (-2 cdot 2yh^2) = -4 vmax yh^2

Passo 5

Agora, vamos substituir dvxdy na fórmula da tensão tangencial:
tau = mu (-4 vmax yh^2) = -4 mu vmax yh^2
Interpretação do Sinal: O sinal negativo indica que a tensão tangencial age na direção oposta ao aumento da velocidade. Na placa superior, isso significa que a tensão está direcionada para baixo.

Passo 6

Vamos avaliar a tensão tangencial na placa superior. A placa superior está localizada em y = h2.
Substituindo y = h2 na expressão de tau:
tau = -4 mu vmax (h2)h^2 = -2 mu vmaxh
Valor Absoluto da Tensão:
|tau| = 2 mu vmaxh
Sentido: Como o valor é negativo, a tensão tangencial na placa superior está direcionada para baixo.

Passo 7

Para calcular numérico, precisamos da viscosidade da água a 15^circ C. A viscosidade da água a essa temperatura é aproximadamente:
mu = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s
Dado que:
  • vmax = 0,30 , m/s
  • h = 0,50 , mm = 0,0005 , m
Substituindo na equação:
|tau| = 2 times 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s times 0,30 , m/s0,0005 , m = 6,84 times 10^-40,0005 = 1,368 , Pa

Passo 8

Agora, vamos fazer os gráficos solicitados.
  1. Gráfico da Variação da Velocidade ( vx) em Função de y
    A fórmula é uma parábola invertida:
    vx = vmax (1 - (2 yh)^2)
    • No centro ( y=0), vx = vmax = 0,30 , m/s.
    • Nas placas ( y = pm h2), vx = 0.
  2. Gráfico da Variação da Tensão de Cisalhamento ( tau) em Função de y
    A tensão é linear em relação a y:
    tau = -4 mu vmax yh^2
    • No centro ( y=0), tau = 0.
    • Nas placas ( y = pm h2), tau = mp 2 mu vmaxh = mp 1,368 , Pa.
Observação dos Gráficos:
  • O gráfico da velocidade é simétrico em relação ao centro, formando uma parábola.
  • O gráfico da tensão é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação negativa para a placa superior e positiva para a inferior.

Resposta

A tensão tangencial na placa superior é de aproximadamente 1,368 , Pa, direcionada para baixo. Os gráficos mostram que a velocidade atinge seu máximo no centro entre as placas e diminui até zero nas placas, enquanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição y, sendo máxima na placa superior e negativa na placa inferior.

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