A lei da distribuição das velocidades para o escoamento laminar entre placas planas paralelas é dada por
com origem no meio da distância e separa estas placas. Considerando o escoamento de água a , com e , calcular a tensão tangencial na placa superior e mostrar seu sentido. Faça o gráfico da variação da velocidade e da tensão de cisalhamento em função de y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar de água entre duas placas paralelas. A velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas, e essa variação é dada pela fórmula:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com escoamento laminar entre placas paralelas.
O que vamos precisar:
  • Entender a fórmula da velocidade.
  • Conhecer a relação entre a tensão tangencial e a velocidade.
  • Saber calcular derivadas básicas.
  • Ter os valores de , e a viscosidade da água a .
Agora, vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade:
Aqui, é a velocidade do fluido na direção em um ponto a uma distância do centro entre as placas. é a velocidade máxima, que ocorre no meio ( ).
Objetivo: Encontrar a tensão tangencial ( ) na placa superior.

Passo 3

A tensão tangencial em um fluido �� dada por:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • é a derivada da velocidade em relação à posição .
Explicação: A tensão tangencial representa a força interna que resiste ao escoamento do fluido. Ela depende da viscosidade do fluido e de como a velocidade muda com a posição.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da velocidade em relação a .
A velocidade é:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula da tensão tangencial:
Interpretação do Sinal: O sinal negativo indica que a tensão tangencial age na direção oposta ao aumento da velocidade. Na placa superior, isso significa que a tensão está direcionada para baixo.

Passo 6

Vamos avaliar a tensão tangencial na placa superior. A placa superior está localizada em .
Substituindo na expressão de :
Valor Absoluto da Tensão:
Sentido: Como o valor é negativo, a tensão tangencial na placa superior está direcionada para baixo.

Passo 7

Para calcular numérico, precisamos da viscosidade da água a . A viscosidade da água a essa temperatura é aproximadamente:
Dado que:
Substituindo na equação:

Passo 8

Agora, vamos fazer os gráficos solicitados.
  1. Gráfico da Variação da Velocidade ( ) em Função de
    A fórmula é uma parábola invertida:
    • No centro ( ), .
    • Nas placas ( ), .
  2. Gráfico da Variação da Tensão de Cisalhamento ( ) em Função de
    A tensão é linear em relação a :
    • No centro ( ), .
    • Nas placas ( ), .
Observação dos Gráficos:
  • O gráfico da velocidade é simétrico em relação ao centro, formando uma parábola.
  • O gráfico da tensão é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação negativa para a placa superior e positiva para a inferior.

Resposta

A tensão tangencial na placa superior é de aproximadamente , direcionada para baixo. Os gráficos mostram que a velocidade atinge seu máximo no centro entre as placas e diminui até zero nas placas, enquanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição , sendo máxima na placa superior e negativa na placa inferior.

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